Grenzwerte e-ähnlicher Folgen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
habe folgende Aufgabe zu lösen und komme nicht so recht weiter...
Aufgabe:
Benutze [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1 + [mm] \bruch{1}{n} )^{n} [/mm] = e um die Grenzwerte der Folgen zu berechnen:
a) (1 + [mm] \bruch{1}{3n} )^{n}
[/mm]
b) (1 - [mm] \bruch{1}{n-2} )^{n+5}
[/mm]
Zur Lösung hab ich mir so gedacht irgendwie die Folgen so umzuformen, dass Anteile von (1 + [mm] \bruch{1}{n} )^{n} [/mm] vorkommen, was mir aber nicht gelungen ist.
Als Lösung vermutete ich Vielfache von e, aber wenn man die Grenzwerte mal im Taschenrechner ausrechnet kommt man bei a) auf 1,3956... ( entspricht 0,5134.... * e) und bei b) auf 0,3678... (entspricht 0,1353.... * e). Die sind aber noch nicht mal halbwegs ganzzahlige bzw. rationale Vielfache von e...
Ich hoffe mir kann wer bei der Lösung helfen!
Danke
mfg
Berndte
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 Sa 30.04.2005 | | Autor: | Max |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Berndte,
natürlich kommen Vielfache von $e$ raus - allerdings ist das nicht besonderes weil ja jede Zahl ein Vielfaches von $e$ ist  ($x= \frac{x}{e} \cdot e$).
Tatsächlich sollte man versuchen bei der ersten Folge zumindest mal auf die Form $\left(1+\frac {1}{m}\right)$ zukommen, damit man Ähnlichkeiten zur Folge von $e$ bekommt, d.h. $m=3n$.
Damit erhält man
$\left(1+\frac{1}{3n}\right)^n = \left( 1 +\frac{1}{m}\right)^{\frac{m}{3}}=\left( \left(1+\frac{1}{m}\right)^m\right)^{\frac{1}{3}$
Kannst du jetzt den Grenzwert der Folge bestimmen?
Bei der nächsten Folge kannst du analog vorgehen, allerdings sind die Umformungen ein klitzekleines bisschen schwieriger. Aber du machst das schon!
Gruß Max
|
|
|
| |
|
Vielen Dank, nun ist alles klar!!!
mfg
Berndte
|
|
|
|
