Grenzwerte bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Sa 23.07.2011 | | Autor: | mcgeth |
| Aufgabe | Existieren folgende Grenzwerte? Gegebenenfalls bestimmen Sie sie:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(2n-3)^3}{4n^3-3n-2} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi, hatte gerade zum ersten mal so eine Aufgabe gerechnet und war zu erstaunt darüber wie einfach es war, daher woltle ich nochmal meine Rechnung vorstellen und wissen ob ich es nicht falsch gemacht hat oder etwas fehlt bei meiner Antwort:
Zunächst habe ich die Klammer ausgerechnet:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{8n^3-36n^2+54n-27}{4n^3-3n-2}
[/mm]
Dann durch Zähler und Nenner durch [mm] 4n^3 [/mm] geteilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2-\bruch{36n^2}{4n^3}+\bruch{54n}{4n^3}-\bruch{27}{4n^3}}{1-\bruch{3n}{4n^3}-\bruch{2}{4n^3}}
[/mm]
Dann wurden die einzelnen Grenzwerte Ausgerechnet... naja hingeschrieben, waren ja sichtbar.
[mm] \bruch{2-0+0-0}{1-0-0}
[/mm]
Und final
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(2n-3)^3}{4n^3-3n-2} [/mm] = [mm] \bruch{2}{1} [/mm] = 2
Ist es so richtig? Muss man an der Form etwas beachten, dass notwenig ist um mein Ergebnis zu begründen?
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:31 Sa 23.07.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Existieren folgende Grenzwerte? Gegebenenfalls bestimmen
> Sie sie:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(2n-3)^3}{4n^3-3n-2}[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hi, hatte gerade zum ersten mal so eine Aufgabe gerechnet
> und war zu erstaunt darüber wie einfach es war, daher
> woltle ich nochmal meine Rechnung vorstellen und wissen ob
> ich es nicht falsch gemacht hat oder etwas fehlt bei meiner
> Antwort:
>
> Zunächst habe ich die Klammer ausgerechnet:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{8n^3-36n^2+54n-27}{4n^3-3n-2}[/mm]
>
> Dann durch Zähler und Nenner durch [mm]4n^3[/mm] geteilt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2-\bruch{36n^2}{4n^3}+\bruch{54n}{4n^3}-\bruch{27}{4n^3}}{1-\bruch{3n}{4n^3}-\bruch{2}{4n^3}}[/mm]
>
> Dann wurden die einzelnen Grenzwerte Ausgerechnet... naja
> hingeschrieben, waren ja sichtbar.
Das kannst du so machen, ja.
>
> [mm]\bruch{2-0+0-0}{1-0-0}[/mm]
>
> Und final
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(2n-3)^3}{4n^3-3n-2}[/mm] =
> [mm]\bruch{2}{1}[/mm] = 2
>
> Ist es so richtig? Muss man an der Form etwas beachten,
> dass notwenig ist um mein Ergebnis zu begründen?
Das ist durchaus okay so.
>
> Grüße
Marius
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Hallo mcgeth,
wieder nur eine kleine Ergänzung von mir:
> Existieren folgende Grenzwerte? Gegebenenfalls bestimmen
> Sie sie:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(2n-3)^3}{4n^3-3n-2}[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hi, hatte gerade zum ersten mal so eine Aufgabe gerechnet
> und war zu erstaunt darüber wie einfach es war, daher
> woltle ich nochmal meine Rechnung vorstellen und wissen ob
> ich es nicht falsch gemacht hat oder etwas fehlt bei meiner
> Antwort:
>
> Zunächst habe ich die Klammer ausgerechnet:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{8n^3-36n^2+54n-27}{4n^3-3n-2}[/mm]
Hier kannst du dir durch einfaches Ausklammern ersparen, die lästige Klammer im Zähler auszurechnen. Spart gerade in Klausuren enorm Zeit!
Das mag hier noch gehen, aber, was ist, wenn du [mm](2n-3)^{29}[/mm] oder ähnliches hast? Das möchte man doch nicht ausschreiben 
Also [mm](2n-3)^3=\left[2n\cdot\left(1-\frac{3}{2n}\right)\right]^3=(2n)^3\cdot{}\left(1-\frac{3}{2n}\right)^3=8n^3\cdot{}\left(1-\frac{3}{2n}\right)^3[/mm]
Dann weiter wie im Text ... Die hintere Klammer kannst du im Fortgang so stehen lassen, die strebt für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen [mm] $(1-0)^3=1$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:59 Sa 23.07.2011 | | Autor: | mcgeth |
Das Ausklammern hilft mir echt weiter, da die nächsten Aufgaben nämlich in der Art sind. Jetzt weiss ich auch wie man sowas hinschreibt.
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