Grenzwerte bestimmen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:19 So 24.01.2010 | | Autor: | egal |
| Aufgabe | Bestimme den Grenzwert
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0, x>0} (sin(x))^{\bruch{1}{ln(x^2)}} [/mm] |
Zu 1.
Welche Rechenschritte soll ich denn hier in dem Beispiel bringen?
Vorhin haben wir ganz einfache Aufgaben durchgenommen, wo man entweder mit der Variablen erweitert oder diese eben kürzt. Nun, was mache ich bei diesem Monster?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:44 So 24.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo egal!
Forme dieses "Monster" um in eine e-Funktion:
$$(\sin(x))^{\bruch{1}{\ln(x^2)}} \ = \ \left[e^{\ln\left(\sin(x)\right)\right]^{\bruch{1}{\ln(x^2)}} \ = \ e^{\bruch{\ln\left(\sin(x)\right)}{\ln(x^2)} \ = \ e^{\bruch{\ln\left(\sin(x)\right)}{2*\ln(x)}$$
Diesem Term im Exponenten kann man nun mit Herrn  de 'Hospital beikommen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:58 So 24.01.2010 | | Autor: | egal |
dann müsste er wohl gegen "e" konvergieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:03 Mo 25.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo egal!
Das stimmt leider nicht. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Was hast Du wie gerechnet?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 Mo 25.01.2010 | | Autor: | egal |
[mm] e^\bruch{ln(sin (x))}{2ln(x)}=e^\bruch{cos(x)*x}{sin(x)2}=e^\bruch{-sin(x)}{cos(x)}=e^\bruch{0}{1}=1 [/mm]
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo egal,
> $e^\bruch{ln(sin (x))}{2ln(x)}=e^\bruch{cos(x)*x}{sin(x)2}$
Bis hierhin ist es zwar falsch aufgeschrieben, aber richtig gemeint ...
> $=e^\bruch{-sin(x)}{cos(x)}=e^\bruch{0}{1}=1$
Puh, so darfst du das nicht aufschreiben. Wie kommt zudem das $e^\bruch{-sin(x)}{cos(x)}$ zustande?
Mal sauberer:
Wegen der Stetigkeit der e-Funktion ist $\lim\limits_{x\to x_0}{e^{g(x)}=e^{\lim\limits_{x\to x_0}g(x)}$
Daher kannst du dir den Exponenten rauspicken und dessen GW für $x\to x_0$ ansehen.
Hier also: $\lim\limits_{x\to 0}\frac{´\ln(\sin(x))}{2\ln(x)}=\frac{\infty}{\infty}$
Also kannst du de l'Hôpital anwenden und Zähler und Nenner getrennt ableiten und den GW für $x\to 0$ dieses Ausdruckes anschauen.
Das gibt $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\left[\ln(\sin(x))\right]'}{\left[2\ln(x)\right]'}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x\cos(x)}{2\sin(x)}=\frac{0}{0}$
Also wieder ran mit de l'Hôpital und Zähler und Nenner getrennt ableiten:
$=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\left[x\cos(x)\right]'}{\left[2\sin(x)\right]'}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\cos(x)-x\sin(x)}{2\cos(x)}=\frac{1-0}{2}=\frac{1}{2}$
Also strebt der Exponent für $x\to 0$ gegen $\frac{1}{2}$
Das ganze Biest also gegen $e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e}$
LG
schachuzipus
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