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| Aufgabe | | [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{i^n} [/mm] |
Hallo, ich soll den folgenden Grenzwert berechnen, falls einer vorhanden ist. leider weiss ich nicht wie die korrekte Schreibweise für die rechnung ist :(
ich fange einfach mal an:
da der nenner [mm] i^n [/mm] schneller als der Zähler wächst, nähert sich der Grenzwert der null also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x)=0
[/mm]
ist meine Argumentation richtig oder gehe ich falsch vor?
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Hallo PeterSteiner,
da fehlt noch eine wesentliche Information.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{i^n}[/mm]
>
> Hallo, ich soll den folgenden Grenzwert berechnen, falls
> einer vorhanden ist. leider weiss ich nicht wie die
> korrekte Schreibweise für die rechnung ist :(
> ich fange einfach mal an:
>
> da der nenner [mm]i^n[/mm] schneller als der Zähler wächst,
> nähert sich der Grenzwert der null also
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x)=0[/mm]
>
> ist meine Argumentation richtig oder gehe ich falsch vor?
Kommt drauf an. Das hängt von i ab. Ich gehe mal davon aus, dass es sich dabei nicht um die imaginäre Einheit [mm] i=\wurzel{-1} [/mm] handelt.
Wenn [mm] i\in\IR [/mm] ist, hängt Deine Argumentation davon ab, welchen Wert i hat. Da gibt es zwei wesentliche Überlegungen und Grenzen, aber wenn man das Ergebnis betrachet, kommt man auch mit einer Grenze hin.
Also: ist irgend etwas über i bekannt?
Grüße
reverend
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also gehen wir einmal davon aus, dass [mm] i\varepsilon\IR
[/mm]
Dann müsste ich also einen Fallunterschied machen einmal für i<0 und für i>0 sowie für i=n???
Ist die Denkweise soweit richtig?
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Hallo nochmal,
> also gehen wir einmal davon aus, dass [mm]i\varepsilon\IR[/mm]
Das Zeichen "Element von", [mm] \in, [/mm] schreibt man \in.
> Dann müsste ich also einen Fallunterschied machen einmal
> für i<0 und für i>0 sowie für i=n???
> Ist die Denkweise soweit richtig?
i=n ist uninteressant. Null ist in der Tat eine interessante Grenze, aber die andere ist i=1. Für i<1 und i>1 gelten hier ja verschiedene Dinge...
Grüße
reverend
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Für i=0 existiert kein Grenzwert da [mm] \bruch{n}{0^n} [/mm] zu einem wiederspruch führt.
Für i>1:
[mm] \bruch{n}{2^n}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f(x)=0
Für i<1
[mm] \bruch{n}{-2^n}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f(x)=0
Ist das so richtig, denn der nenner wächst schneller als der zähler daher gegen 0
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Hallo Peter,
> Für i=0 existiert kein Grenzwert da [mm]\bruch{n}{0^n}[/mm] zu
> einem wiederspruch führt.
Das heißt Widerspruch !
Worin besteht der "Widerspruch" und gegen welche Annahme??
Bitte genauer sagen, was oder wie du das meinst!
>
> Für i>1:
> [mm]\bruch{n}{2^n}[/mm]
Wieso ist [mm]i=2[/mm], wenn [mm]i>1[/mm] ist?
Das ist doch Unsinn
Für [mm]i>1[/mm] strebt [mm]i^n\to\infty[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]
Der Zähler [mm]n[/mm] auch, du bekommst also einen unbestimmten Ausdruck der Form [mm]\frac{\infty}{\infty}[/mm].
Da kannst du die Regel von de l'Hôpital anwenden ...
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] f(x)=0
Das stimmt für [mm]i>1[/mm], ist aber falsch begründet, weise es mit meinem Hinweis nach!
>
>
> Für i<1
> [mm]\bruch{n}{-2^n}[/mm]
Das verstehe ich wieder nicht!
Was passiert für [mm]0
Was passiert für [mm]i=1[/mm] ?
Und was ist mit negativen [mm]i[/mm] ?
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] f(x)=0
>
> Ist das so richtig, denn der nenner wächst schneller als
> der zähler daher gegen 0
Verstehe ich nicht, ich denke, du bist im Fall [mm](0<)i<1[/mm]
Da strebt der Nenner, also [mm]i^n[/mm], gegen 0 für [mm]n\to\infty[/mm], der Zähler n aber gegen [mm]\infty[/mm]
Du bekommst also [mm]\frac{\infty}{0}[/mm]
Da musst du also noch genau begründen, was passiert ...
>
Gruß
schachuzipus
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ok, der Widerspruch besteht darin: [mm] \bruch{n}{0^n}\Rightarrow \bruch{\infty}{0} [/mm] das würde heissen undenlich durch 0 geteiltergibt unendlich???
i<0
[mm] \bruch{\infty}{0} [/mm] f(x)=0
i>0
[mm] \bruch{\infty}{\infty} f(x)=\infty
[/mm]
Ist das jetzt so richtig oder muss ich noch was beachten?
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Hallo nochmal,
nein, davon stimmt nichts!
> ok, der Widerspruch besteht darin:
> [mm]\bruch{n}{0^n}\Rightarrow \bruch{\infty}{0}[/mm] das würde
> heissen undenlich durch 0 geteiltergibt unendlich???
Die Division durch Null ist nicht definiert und daher nicht erlaubt.
>
> i<0
> [mm]\bruch{\infty}{0}[/mm] f(x)=0
Die Division durch Null ist nicht definiert und daher nicht erlaubt.
Außerdem stimmt Dein Ergebnis für -1<i<0 nicht.
> i>0
> [mm]\bruch{\infty}{\infty} f(x)=\infty[/mm]
>
> Ist das jetzt so richtig oder muss ich noch was beachten?
Du könntest mal die Antworten lesen, die Du auf Deine Fragen bekommst. Hier hat nämlich niemand Lust, immer wieder das gleiche zu schreiben. Das dürfte auch der Grund sein, warum stundenlang niemand antwortet.
Lies mal die Antwort von schachuzipus, da stand alles Nötige drin.
Das, was Du jetzt vorlegst, ist jedenfalls völlig falsch und der reinste Schwachsinn.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:43 Sa 28.05.2011 | | Autor: | rabilein1 |
Setze doch einfach ein für n=100 und für i=0.1 bzw. i=1 bzw. i=2.
Und dann rechne aus, was da jeweils rauskommt.
Das sollte m.E. genügen, um zu sehen, ob das Ergebnis 'recht groß' oder 'recht klein' ist.
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