Grenzwerte bei Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:05 Mi 14.10.2015 | | Autor: | sae0693 |
| Aufgabe | Ermitteln Sie den Grenzwert für n -> [mm] \infty [/mm] der Folgen:
a) a = [mm] \bruch{2n^2 + 3n - 4}{5+n^2}
[/mm]
b) b = 1 - [mm] (-1)^n [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie löse ich das? Ich bin nun Informatik Student im ersten Semester, in der Fachoberschule durften wir immer extrem hohe Zahlen einsetzen. Das ist nicht mehr erlaubt.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2n^2 + 3n - 4}{5+n^2} [/mm] sowie bei Aufgabe B [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}1 [/mm] - [mm] (-1)^n
[/mm]
Wie mache ich weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Mi 14.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ermitteln Sie den Grenzwert für n -> [mm]\infty[/mm] der Folgen:
> a) a = [mm]bruch{2n^2 + 3n - 4}{5+n^2}[/mm]
Das lautet wohl
[mm]a_n= \bruch{2n^2 + 3n - 4}{5+n^2}[/mm]
> b) b = 1 - [mm](-1)^n[/mm]
Und das
[mm] $b_n [/mm] = 1 [mm] -(-1)^n$
[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Wie löse ich das? Ich bin nun Informatik Student im ersten
> Semester, in der Fachoberschule durften wir immer extrem
> hohe Zahlen einsetzen. Das ist nicht mehr erlaubt.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2n^2 + 3n - 4}{5+n^2}[/mm]
> sowie bei Aufgabe B [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}1[/mm] - [mm](-1)^n[/mm]
>
> Wie mache ich weiter?
Zu [mm] a_n:
[/mm]
in [mm] \bruch{2n^2 + 3n - 4}{5+n^2} [/mm] klammere in Zähler und Nenner [mm] n^2 [/mm] aus.
Zu [mm] b_n: [/mm] die Folge [mm] (b_n) [/mm] ist nicht konvergent, denn für n gerade ist [mm] b_n=0 [/mm] und für n ungerade ist [mm] b_n=2.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Mi 14.10.2015 | | Autor: | sae0693 |
Das führt zu [mm] \bruch{2+\bruch{3}{n}-\bruch{4}{n^2}}{1+\bruch{5}{n^2}}, [/mm] nachdem ich dann [mm] n^2 [/mm] gekürzt habe. Nun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Mi 14.10.2015 | | Autor: | DieAcht |
Nun benutze die Grenzwertsätze.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Mi 14.10.2015 | | Autor: | sae0693 |
Und wie? Ich habe das tatsächlich noch nie so gemacht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Mi 14.10.2015 | | Autor: | DieAcht |
Wir haben
[mm] \lim_{n\to\infty}\frac{2n^2 + 3n - 4}{5+n^2}=\lim_{n\to\infty}\bruch{2+\bruch{3}{n}-\bruch{4}{n^2}}{1+\bruch{5}{n^2}}.
[/mm]
Mit den Grenzwertsätzen folgt zunächst
[mm] \lim_{n\to\infty}\bruch{2+\bruch{3}{n}-\bruch{4}{n^2}}{1+\bruch{5}{n^2}}=\bruch{\lim_{n\to\infty}(2+\bruch{3}{n}-\bruch{4}{n^2})}{\lim_{n\to\infty}(1+\bruch{5}{n^2})}.
[/mm]
Jetzt wieder du!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Mi 14.10.2015 | | Autor: | sae0693 |
Jetzt könnte ich theoretisch "unendlich" einsetzen. Dabei bleib die 2 über dem Bruchstrich eine 2, 3 durch n geht gegen 0, genau wie 4 durch [mm] n^2. [/mm] Unter dem Bruchstrich bleibt die 1 gleich, 5 durch [mm] n^2 [/mm] geht gegen Null. Was ist dann der Unterschied zu vorher, bevor man ausgeklammert hat? Dass ich nun im Kopf ohne Taschenrechner das ausrechnen kann? Grenzwert wäre ja dann 2.
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Zunächst noch mal die "Regel" für solche Brüche:
Im Zähler und Nenner immer den Faktor n mit seiner höchsten Potenz im Nenner ausklammern, also hier [mm] n^2. [/mm] Dann bleibt im Nenner immer eine Zahl übrig.
Grenzwertsätze: Sind ganz einfach: Der limes verteilt sich bei Summen/Differenzen und bei Produkten/Quotienten auf die einzelnen Summanden bzw. Faktoren. Wie du vielleicht beim Ableiten von Produkten weißt, ist das nicht selbstverständlich, denn die Produktregel dort (oder die Quotientenregel) sieht dort ganz anders aus.
So, jetzt zur Aufgabe:
Im Zähler bleibt die 2 und im Nenner die 1, die anderen Brüche gehen alle nach Null, du kannst also dafür 0 hinschreiben, und es kommt 2 heraus.
Der Unterschied zu großen Zahlen: Du hast nun bewiesen(!!!), dass 2 herauskommt. Das ist etwas ganz anderes, als mit großen Zahlen herumzufummeln und zu sagen: Wird schon stimmen.
Beispiel: [mm] n^{100}*e^{-n/10}
[/mm]
Wenn du z.B. n=10 einsetzt, gibt der Faktor vorne eine 1 mit 100 Nullen, das wird mit [mm] e^{-1}, [/mm] also ca. 1/3 multipliziert, Fazit: Ganz schön groß, also "praktisch unendlich".
Völlig falsch: Wie du (hoffentlich noch) weiß, setzt sich die e-Funktion als Faktor eines Produktes mit einem Polynom am Ende gegen dieses durch, und da [mm] e^{-n/10}=(e^{-n})^{0,1} [/mm] ist, geht dieses für n nach unendlich gegen 0, und damit der ganze Ausdruck, auch wenn er zwischendurch mal ganz "nah" bei unendlich war. Mit deinem Taschenrechner kannst du das schon gar nicht mehr überprüfen, weil er beim Berechnen von [mm] n^{100} [/mm] schon vorher abstürzt.
(Das Maximum des Wertes liegt übrigens bei n=1000 und gibt eine Zahl mit über 250 Stellen...)
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