Grenzwerte (W-Theorie) < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Aussage: Sei n [mm] \in \IN. [/mm] Weiter sei [mm] (M_{N})_{N \ge n} [/mm] eine Folge aus [mm] \IN [/mm] mit folgenden Eigenschaften:
(I) N [mm] \in [/mm] {n, n + 1, . . . } gilt [mm] M_{N} \le [/mm] N.
(II) Die Folge [mm] (\bruch{M_{N}}{N})_{N \ge n} [/mm] konvergiert gegen eine Zahl p [mm] \in [/mm] (0,1)
Dann gelten folgende Aussagen:
(a) Es gilt [mm] \limes_{N\rightarrow\infty} M_{N} [/mm] = [mm] +\infty [/mm] sowie [mm] \limes_{N\rightarrow\infty} [/mm] (n + [mm] M_{N} [/mm] − N) = [mm] -\infty.
[/mm]
(b) Sei k [mm] \in [/mm] {0,1, . . .,n}. Dann gilt [mm] \limes_{N\rightarrow\infty} M_{N, M_{N}, n} [/mm] ({k}) = [mm] \beta_{n,p} [/mm] ({k}). |
Hallo,
seit langer Zeit hab ich mal wieder eine Frage.
Obige Aufgabe (zumindestens Teil (a)), die im Fach W-Theorie zu bearbeiten ist, sah für mich auf den ersten Blick relativ einfach auf, aber scheinbar steh ich ein wenig auf dem Schlauch.
Für jegliche Tipps und Hinweise zu beiden Teilaufgaben wäre ich sehr dankbar. Vielleicht hat jemand auch schon ähnliche Aufgaben gelöst und kann mir sagen, worauf hier zu achten ist bzw. worauf das hier hinausläuft.
MfG Leipziger
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:28 So 20.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweisen Sie folgende Aussage: Sei n [mm]\in \IN.[/mm] Weiter sei
> [mm](M_{N})_{N \ge n}[/mm] eine Folge aus [mm]\IN[/mm] mit folgenden
> Eigenschaften:
> (I) N [mm]\in[/mm] {n, n + 1, . . . } gilt [mm]M_{N} \le[/mm] N.
> (II) Die Folge [mm](\bruch{M_{N}}{N})_{N \ge n}[/mm] konvergiert
> gegen eine Zahl p [mm]\in[/mm] (0,1)
> Dann gelten folgende Aussagen:
> (a) Es gilt [mm]\limes_{N\rightarrow\infty} M_{N}[/mm] = [mm]+\infty[/mm]
> sowie [mm]\limes_{N\rightarrow\infty}[/mm] (n + [mm]M_{N}[/mm] − N) =
> [mm]-\infty.[/mm]
> (b) Sei k [mm]\in[/mm] {0,1, . . .,n}. Dann gilt
> [mm]\limes_{N\rightarrow\infty} M_{N, M_{N}, n}[/mm] ({k}) =
> [mm]\beta_{n,p}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
({k}).
> Hallo,
>
> seit langer Zeit hab ich mal wieder eine Frage.
>
> Obige Aufgabe (zumindestens Teil (a)), die im Fach
> W-Theorie zu bearbeiten ist, sah für mich auf den ersten
> Blick relativ einfach auf, aber scheinbar steh ich ein
> wenig auf dem Schlauch.
>
> Für jegliche Tipps und Hinweise zu beiden Teilaufgaben
> wäre ich sehr dankbar. Vielleicht hat jemand auch schon
> ähnliche Aufgaben gelöst und kann mir sagen, worauf hier
> zu achten ist bzw. worauf das hier hinausläuft.
>
> MfG Leipziger
zu (a):
1.) Wegen $M_N/N \to p > 0$ können wir zu $\varepsilon:=p/2 > 0$ ein $N=N_\varepsilon$ angeben, so dass insbesondere gilt
$$M_N=\frac{M_N}{N}*N \ge (p-\varepsilon)*N=(p/2)*N \text{ für alle } N \ge N_\varepsilon\,.$$
Da offensichtlich $(p/2)*N \;\to\; \infty$ gilt, folgt aus obigem nun $M_N \;\to\; \infty\,,$
2.) Es gilt
$$n+M_N-N=\frac{n+M_N-N}{N}*N=\blue{\left(\frac{n}{N}+\frac{M_N}{N}-1\right)}*N\,.$$
Da $n\,$ fest ist, strebt der Term in der Klammer offensichtlich (genauer: wegen Rechengesetzen für konvergente Folgen) gegen $g:=p-1\,,$ und wegen $p \in (0,1)$ ist damit $g \in (-1,0)\,,$ jedenfalls $g < 0\,.$
Mit einer Abschätzung analog zu 1.) folgt 2.) (der Klammerterm wird ab genügend großen $N\,$ stets insbesondere $\le (g+\varepsilon),$ mit $\varepsilon:=-g/2 > 0\,,$ sein, so dass ab dann
$$\blue{\text{Klammerterm} *N \le \underbrace{(g+\varepsilon)}_{=:q}*N$$
gilt, wobei $q < 0\,$ ist).
Bei (b) weiß ich leider weder, was
$$M_{N, M_{N}, n}$$
bzw.
$$M_{N, M_{N}, n}(\{k\})$$
sein soll, noch, was mit
$$\beta_{n,p}(\{k\})$$
gemeint ist.
Im ersten Teil war ja $(M_N)_{N \ge n}$ eine Folge in $\IN\,,$ das heißt
$$(M_N)_{N \ge n} \in \IN^{\IN_{\ge n}}$$
bzw.
$$M \in \IN^{\IN_{\ge n}}$$
mit $\IN_{\ge n}:=\{k \in \IN: k \ge n\}\,.$
Oder anders formuliert:
$M\,$ ist eine Abbildung $\IN_{\ge n} \to \IN\,,$ was nichts anderes besagt, als dass
$$M_N=M(N) \in \IN \text{ für alle } N \in \IN_{\ge n}$$
ist.
Beim zweiten Teil ist mir unklar, was diese Mehrfachindizierung an $M\,$ bedeuten soll und auch, was das dahinterstehende $(\{k\})$ bedeutet.
Denn für eine Folge $(a_n)_{n \in \IN}$ macht meines Erachtens $a_n(\{k\})$ schonmal keinen Sinn.
Beste Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 So 20.06.2010 | | Autor: | Leipziger |
Vielen Dank!
Das war ja schon weit mehr als ein Hinweis. Ich denke, dass ich das auch alles soweit verstanden hab.
Bei Aufgabenteil (b) weiß ich leider auch noch nicht, was das alles genau bedeuten soll, aber [mm] \beta_{n,p} [/mm] ({k}) ist vermutlich die Binomialverteilung.
Mir ist noch ein kleiner Fehler aufgefallen, denn es muss heißen:
Sei k [mm]\in[/mm] {0,1, . . .,n}. Dann gilt [mm] \limes_{N\rightarrow\infty} H_{N, M_{N}, n} [/mm] ({k}) = [mm] \beta_{n,p} [/mm] ({k}).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:06 So 20.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank!
>
> Das war ja schon weit mehr als ein Hinweis. Ich denke, dass
> ich das auch alles soweit verstanden hab.
das letztere ist das wichtigere. Wenn Du die Rechnung mit dem ersten Grenzwert verstanden hast, ist die zweite eigentlich leicht.
Vielleicht ein Tipp, wie ich auf die Idee kam:
Zunächst stand da ja nur etwas von [mm] $M_N/N \to [/mm] p$ und am Anfang wollte man eine Aussage über [mm] $M_N$ [/mm] erhalten. Deswegen war die Erweiterung
[mm] $$M_N=M_N*\frac{N}{N}=\frac{M_N}{N}*N$$
[/mm]
naheliegend.
Damit das ganze einen höheren Lerneffekt für Dich hat: Nachdem Du meine Lösung gelesen hast, alles weglegen und versuchen, das ganze nochmal alleine so zusammenzubasteln. Das sollte Dir eigentlich - nach vielleicht zwei Versuchen, in denen Du nochmal kurz gespickt hast - gelingen.
> Bei Aufgabenteil (b) weiß ich leider auch noch nicht, was
> das alles genau bedeuten soll, aber [mm]\beta_{n,p}[/mm] ({k}) ist
> vermutlich die Binomialverteilung.
>
> Mir ist noch ein kleiner Fehler aufgefallen, denn es muss
> heißen:
> Sei k [mm]\in[/mm] {0,1, . . .,n}. Dann gilt
> [mm]\limes_{N\rightarrow\infty} H_{N, M_{N}, n}[/mm] ({k}) =
> [mm]\beta_{n,p}[/mm] ({k}).
Das mag' sein. Nächste Frage: Was ist hierbei nun [mm] $H_{p,q,r}(\{k\})$ [/mm] ($p,q,r [mm] \in \IN$)?
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Mi 23.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
