Grenzwerte Folgen mit Brüchen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 Fr 07.12.2012 | | Autor: | tmili |
| Aufgabe | Untersuchen sie die nachfolgenden Zahlenfolgen auf Konvergenz und bestim0men Sie gegebenenfalls den Grenzwert.
a) [mm] a_{n}:=\wurzel{n}(\wurzel[n]{n}-1)
[/mm]
b) [mm] a_{n}:=\bruch{n}{2^{\wurzel{n}}} [/mm] |
Hallo, diese Aufgabe beinhaltet insgesagt acht solcher Folgen und bei allen anderen habe ich es ohne Probleme geschafft den Grenzwert zu ermitteln (wenn man einen Grenzwert findet ist die Folge ja auch konvergent, daher habe ich einfach immer versucht den Grenzwert zu ermitteln). Nur bei diesen beiden habe ich es einfach nicht hinbekommen..vllt (meine Vermutung) sind sie auch gar nicht konvergent und ich komme daher mit meinem Schema nicht weiter..
bei der b) habe ich gar keinen Anhaltspunkt und bei der a) bin ich so ein bisschen verzweifelt weil [mm] \wurzel{n} [/mm] ja gegen unendlich geht für n gegen unendlich und ich daher keine grenzwertsätze anwenden kann. Könnte ich diese anwenden würde der Inhalt der Klammer ja gegen Null konvergieren und damit alles gegen Null.
Würde mich über Hilfestellungen und Tipps freuen.
Danke im Voraus und liebe Grüße
Tamara
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Ein paar Vorschläge:
also direkt habe ich jetzt auch nichts gefunden, aber du kannst z.B. das Einschließungskriterium benutzen, also eine kleinere und größere Folge finden. (alles erstmal nur für die b)
Eine kleinere Folge wäre ja z.B. [mm] $\bruch{1}{2^{\sqrt{n}}}$ [/mm] und davon ist der Grenzwert 0. Der Grenzwert existiert auch, also er ist b (laut Maple), nur mir gelingt es nicht, gerade eine größere Folge mit dem Grenzwert 0 zu finden.
Zwei andere Methoden, mit denen ich zum Ziel komme:
Wandle die Folge in eine gedachte Reihe um!
[mm] §\sum_{k=0}^n {\bruch{k}{2^{\sqrt{k}}}}$
[/mm]
Dann kannst du die Kriterien für Reihen benutzen. Vor allem das Wurzelkriterium führt direkt zum Ziel. Da die Reihe dann konvergiert, muss die Folge der Reihe eine Nullfolge sein -> was sie ist.
Dritte Möglichkeit: Man kann die Folge in eine Funktion überführen, sofern diese stetig ist und dann l'Hospital benutzen:
[mm] $f(x)=\bruch{x}{2^{\sqrt{x}}}$
[/mm]
Dann ist aber die Ableitung sehr hässlich, hat Maple für mich gemacht ;) Das sollte alles dann auch bei der a funktionieren, habe jetzt nur die b) probiert. Vielleicht finde ich aber auch noch eine direkte Lösungsmöglichkeit ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Fr 07.12.2012 | | Autor: | tmili |
Erstmal vielen Dank für deine schnelle Antwort! Leider hatten wir bis jetzt weder Reihen noch L´Hopital :( Habe beides schon gehört, aber wäre wahrscheinlich nicht schlecht was aus der Vorlesung anzuwenden bzw. sollte zumindest gehen es ohne die beiden Möglichkeiten zu machen...
Das nette ist nur wir hatten das Einschließkriterium auch nicht^^ Habe im Internet zwar immer mal wieder drüber gelesen aber habe grad extra noch mal die Vorlesung durchgeblättert und: nichts :(
Wäre dir also dankbar, wenn du oder jemand anderes mit soviel "Nichtwissen" noch auf ne andere Lösung kommen könnet :)
Leider bleibt hiermit die Frage weiterhin offen..mhh..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:15 Fr 07.12.2012 | | Autor: | Adamantin |
Also für die b hätte ich noch folgende Alternative:
Nach sehr langem Überlegen bleibt eigentlich nur ein Trick: Da mir keine sinnvolle Erweiterung einfällt, nutzen wir die Tatsache, dass eine konvergente Folge nur einen Häufungspunkt besitzen darf und das jede Teilfolge auch gegen diesen Häufungspunkt = Grenzwert konvergiert. Dazu muss man sich die Folge ausschreiben:
[mm] $\bruch{n}{2^{\sqrt{n}}}=\bruch{1}{2}, \bruch{2}{2^{\sqrt{2}}}, \bruch{3}{2^{\sqrt{3}}}, \bruch{4}{2^{2}}, [/mm] ...$
Wenn man sich dies gut anschaut, sieht man zwei Teilfolgen, die die gesamte Folge ergeben. Bei der ersten befindet sich immer das Quadrat von n im Zähler und im Nenner n als einfache Potenz von 2:
Das erzeugt uns die Glieder ohne Wurzel.
[mm] $(a_1)=\bruch{n^2}{2^n}=\bruch{1}{2^{1}}, \bruch{4}{2^{2}}, \bruch{9}{2^{3}}, [/mm] ...$
Hiervon ist der Grenzwert sicherlich 0. Jetzt müsste der Rest auch als Teilfolge gegen 0 gehen.
Fehlt noch die Teilfolge mit den Wurzeln:
[mm] $(a_2)=...$
[/mm]
Ich finde allerdings kein Bildungsgesetz für natürliche Zahlen außer Quadratzahlen. Da wir aber anderweitig wissen, dass sie konvergent ist (siehe 1. Post), muss jede Teilfolge gegen den Grenzwert konvergieren und der ist mit der ersten Teilfolge 0. Hoffe, wenigstens einen Ansatz geliefert zu haben.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Fr 07.12.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo tmili,
Nachdem wir nun wissen, was Ihr alles noch nicht in der Vorlesung hattet, konzentrieren wir uns mal darauf, was Ihr schon hattet.
zu a) [mm] $a_n=\sqrt n*\left(\root n \of n - 1\right)\,:$
[/mm]
Hier liegt es nahe, den Beweis für [mm] $\root [/mm] n [mm] \of [/mm] n [mm] \to [/mm] 1$ anzuschauen. Wenn Du den etwas modifizierst, kannst Du [mm] $a_n\to [/mm] 0$ für [mm] $n\to\infty$ [/mm] zeigen. Versuch' es mal.
zu b) [mm] $a_n=\frac [/mm] n [mm] {2^{\sqrt n}}\,:$
[/mm]
Betrachte die Folge der Quotienten [mm] $\frac {a_{n+1}} {a_n}\;.$ [/mm] Diese konvergiert gegen einen Grenzwert $q$ mit [mm] $0\le [/mm] q < 1$. Dies zu beweisen überlasse ich Dir. Der Rest ist einfacher: Es gibt zu jedem [mm] $p\in [/mm] (q; 1)$ ein $N$, so daß [mm] $a_{n+1} [/mm] < [mm] a_n*p [/mm] $ für alle [mm] $n\ge [/mm] N$. Per Induktion folgt dann für alle [mm] $n\ge [/mm] N$ die Ungleichung [mm] $a_n \le a_N [/mm] * [mm] p^{n-N}\,.$
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:44 Sa 08.12.2012 | | Autor: | tmili |
EDIT: Folgen angegeben, damit man nicht immer auf die erste Frage blättern muß. (Wolfgang)
Danke für deine Antwort..leider habe ich zu beidem Fragen..
zu a): [mm] $a_n=\sqrt [/mm] n [mm] \left(\root n \of n - 1\right)$
[/mm]
habe gerade [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] vereinfacht und muss aber etwas falsch gemacht haben, denn ich komme auf [mm] \bruch{1}{n*\wurzel{2}}..dieses [/mm] würde ja für n gegen unendlich gegen Null konvergieren oder? finde leider den Fehler auch nicht :/
habe den doppelbruch durch multiplizieren mit dem Kehrbruch unter einen Nenner gebracht und dann ist es doch richtig, dass [mm] 2^{\wurzel{n}}=\wurzel{2}^{n} [/mm] oder liegt da mein fehler? also mein tr zeigt mir da grade einen an, aber [mm] \wurzel{n} [/mm] entspricht doch [mm] n^{1/2} [/mm] und dann hat man ja [mm] (2^{n})^{1/2} [/mm] und kann die exponenten tauschen..mhh..
zu b): [mm] $a_n=\frac [/mm] n [mm] {2^\sqrt n}$
[/mm]
puh den beweis zu [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] hab ich mir ganz einfach gedacht..das ist ja das gleiche wie [mm] n^{1/n} [/mm] und für n gegen unendlich geht der exponent gegen Null, also egal was die Basis ist geht das ganze gegen 1. Brauche ich da einen komplizierteren Beweis? Weil das wusste ich ja schon und kam nicht voran und wie man den passend modifizieren könnte wüsste ich grad leider nicht :(
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:02 Sa 08.12.2012 | | Autor: | Helbig |
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> Danke für deine Antwort..leider habe ich zu beidem
> Fragen..
> zu a): [mm]a_n=\sqrt n \left(\root n \of n - 1\right)[/mm]
> habe
> gerade [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm] vereinfacht und muss aber
> etwas falsch gemacht haben, denn ich komme auf
> [mm]\bruch{1}{n*\wurzel{2}}..dieses[/mm] würde ja für n gegen
> unendlich gegen Null konvergieren oder? finde leider den
> Fehler auch nicht :/
> habe den doppelbruch durch multiplizieren mit dem
> Kehrbruch unter einen Nenner gebracht und dann ist es doch
> richtig, dass [mm]2^{\wurzel{n}}=\wurzel{2}^{n}[/mm] oder liegt da
> mein fehler? also mein tr zeigt mir da grade einen an, aber
> [mm]\wurzel{n}[/mm] entspricht doch [mm]n^{1/2}[/mm] und dann hat man ja
> [mm](2^{n})^{1/2}[/mm] und kann die exponenten tauschen..mhh..
Ja, da hast Du einen Rechenfehler gemacht. Links steht im Exponenten [mm] $n^{1/2}$ [/mm] und rechts $1/2 * [mm] n\,.$ [/mm] Die Potenzregel lautet: [mm] $\left(a^x\right)^y=a^{xy}\,.$
[/mm]
> zu b): [mm]a_n=\frac n {2^\sqrt n}[/mm]
> puh den beweis zu
> [mm]\wurzel[n]{n}[/mm] hab ich mir ganz einfach gedacht..das ist ja
> das gleiche wie [mm]n^{1/n}[/mm] und für n gegen unendlich geht der
> exponent gegen Null, also egal was die Basis ist geht das
> ganze gegen 1.
Die Basis geht doch gegen unendlich. Aber selbst bei konstanter Basis greift Dein Argument erst, wenn Ihr die Stetigkeit der Exponentialfunktion bewiesen habt. Dies bezweifle ich allerdings.
> Brauche ich da einen komplizierteren Beweis?
Du brauchst überhaupt einen Beweis. Du hattest ja keinen.
Hattet Ihr dies wirklich nicht in der Vorlesung bewiesen? Du brauchst tatsächlich den Beweis, nicht nur den Satz! Schau doch mal im Script nach oder in einem Analysisbuch.
Grüße,
Wolfgang.
PS: Bitte nutze die Zitierfunktion, damit wir die Definition der beiden Folgen leichter im Auge behalten können.
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