Grenzwerte Bestimmen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 Fr 18.04.2014 | | Autor: | Coxy |
| Aufgabe | | Bestimme folgenden Grenzwerte |
lim x->0
[mm] \bruch{3x^2+2x-5}{7x^2+2x}*(1+x)^{\bruch{1}{x}}*sin(x)
[/mm]
Ich habe zu erst einmal eingesetzte und festgestellt das ich den unbestimmten Ausdruck [mm] \infty*1*0 [/mm] erhalte
soweit ich weiß muss ich nun die Regel von L°Hospital anwenden
und alles separat voneinander ableiten
[mm] \bruch{6x+2}{14x+2}*-cos(x)
[/mm]
nur wie leite ich das [mm] (1+x)^{\bruch{1}{x}} [/mm] ab?
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Hallo Coxy,
> Bestimme folgenden Grenzwerte
> lim x->0
> [mm]\bruch{3x^2+2x-5}{7x^2+2x}*(1+x)^{\bruch{1}{x}}*sin(x)[/mm]
>
> Ich habe zu erst einmal eingesetzte und festgestellt das
> ich den unbestimmten Ausdruck [mm]\infty*1*0[/mm] erhalte
> soweit ich weiß muss ich nun die Regel von L°Hospital
> anwenden
> und alles separat voneinander ableiten
> [mm]\bruch{6x+2}{14x+2}*-cos(x)[/mm]
> nur wie leite ich das [mm](1+x)^{\bruch{1}{x}}[/mm] ab?
Zuerst ist doch der obige Ausdruck als Bruch darzustellen:
[mm]\bruch{z\left(x\right)}{n\left(x\right)}[/mm] und dann Zähler und Nenner getrennt abzuleiten.
Zur Ableitung von [mm](1+x)^{\bruch{1}{x}}[/mm].
Zu diesem Zweck schreibst Du diesen Ausdruck etwas um:
[mm](1+x)^{\bruch{1}{x}}=e^{\bruch{1}{x}*\ln\left(1+x\right)}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:22 Fr 18.04.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
ohne l'Hospital :
$ f(x)= [mm] \bruch{3x^2+2x-5}{7x+2}\cdot{}(1+x)^{\bruch{1}{x}}\cdot{}\bruch{sin(x)}{x} [/mm] $
Damit bist du das Problem des ersten Faktors los.
Dein zweites Problem löst du durch einen Blick ins Skript : der Grenzwert des zweiten Faktors ist nicht 1.
Der dritte Faktor hat ebenfalls einen bekannten Grenzwert.
Grenzwertsatz, fertig.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Fr 18.04.2014 | | Autor: | Coxy |
Also der erste Faktor geht gehen [mm] \bruch{-5}{2}
[/mm]
der zweite Faktor geht gegen [mm] \infty
[/mm]
beim 3 Faktor benutzt man l hospital und kommt auf [mm] \bruch{cos(x)}{1} [/mm] was dann gegen 1 geht
also ist der Grenzwert
[mm] \bruch{-5}{2}*\infty*1
[/mm]
stimmt das?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Fr 18.04.2014 | | Autor: | Coxy |
Okay also
wäre mein Ergebnis
[mm] \bruch{-5}{2}*e*1 [/mm] also insgesamt [mm] \brucht{-5e}{2}
[/mm]
Eine Frage habe ich aber noch wieso ist
[mm] \lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e [/mm] ??
1+x geht doch gegen 1 und egal wie groß oder klein der Exponent ist, es bleibt doch 1?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:59 Fr 18.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Okay also
> wäre mein Ergebnis
> [mm]\bruch{-5}{2}*e*1[/mm] also insgesamt [mm]\brucht{-5e}{2}[/mm]
Ja, mit der Begründung der Grenzwertsätze erhalten wir
[mm] -\frac{5}{2}e $(x\to [/mm] 0)$.
> Eine Frage habe ich aber noch wieso ist
> [mm]\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e[/mm] ??
Nicht nach dem Grund fragen, sondern beweisen. Dazu hast du
bereits zwei Tipps bekommen.
> 1+x geht doch gegen 1 und egal wie groß oder klein der
> Exponent ist, es bleibt doch 1?
Nein. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Hier ein sehr bekanntes Beispiel, welches in deinem Skript steht:
[mm] \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x\not=1 [/mm] für alle [mm] x\in\IR.
[/mm]
Vielleicht noch eine direkte Anwendung dazu:
Aus
[mm] a_n:=\frac{1}{n}
[/mm]
ist eine Nullfolge, folgt nicht
[mm] \red{\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=1} [/mm] (sondern?).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:10 Fr 18.04.2014 | | Autor: | Coxy |
[mm] \red{\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=1} [/mm] ist falsch
[mm] \red{\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e} [/mm] ist richtig oder?
ich hab immer noch keine Ahnung wie man das beweisen soll.
Ein Ansatz wäre sehr hilfreich.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 Fr 18.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
> [mm]\red{\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=1}[/mm] ist
> falsch
> [mm]\red{\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e}[/mm] ist
> richtig oder?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ich hab immer noch keine Ahnung wie man das beweisen soll.
> Ein Ansatz wäre sehr hilfreich.
Den Ansatz hat dir MathePower schon geliefert. Es gilt:
[mm] (1+x)^{\bruch{1}{x}}=e^{\bruch{1}{x}\cdot{}\ln\left(1+x\right)}.
[/mm]
Der dazugehörige Tipp von mir lautete: L'Hôpital.
Jetzt bist aber wirklich du dran!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 Sa 19.04.2014 | | Autor: | Coxy |
Also die Ableitung von
[mm] 1+x)^{\bruch{1}{x}}=e^{\bruch{1}{x}\cdot{}\ln\left(1+x\right)}
[/mm]
nach L Hospital wäre doch
[mm] \bruch{1}{x} (1+x)^{\bruch{1}{x}-1}=\bruch{1}{x}*ln(1+x)*e^{\bruch{1}{x}*ln(1+x)-1}
[/mm]
Nach dem kurzen erhalte ich dann
[mm] (1+x)^{\bruch{1}{x}-1}=ln(1+x)*e^{\bruch{1}{x}*ln(1+x)-1}
[/mm]
Wie muss ich dann weiter machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:05 Sa 19.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Also die Ableitung von
>
> [mm]1+x)^{\bruch{1}{x}}=e^{\bruch{1}{x}\cdot{}\ln\left(1+x\right)}[/mm]
> nach L Hospital wäre doch
> [mm]\bruch{1}{x} (1+x)^{\bruch{1}{x}-1}=\bruch{1}{x}*ln(1+x)*e^{\bruch{1}{x}*ln(1+x)-1}[/mm]
>
> Nach dem kurzen erhalte ich dann
> [mm](1+x)^{\bruch{1}{x}-1}=ln(1+x)*e^{\bruch{1}{x}*ln(1+x)-1}[/mm]
Was? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> Wie muss ich dann weiter machen?
Das ist Unfug. Bei L'Hôpital leiten wir den Zähler sowie
den Nenner getrennt ab. Lies dir den Satz nochmal durch.
Wir haben nicht ohne Grund eine äquivalente Umformung gemacht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Sa 19.04.2014 | | Autor: | Coxy |
Ich sehe nur beim Exponenten einen Bruch und den Leite ich ja nicht sofort ab wenn ich l Hospital anwende - ich finde es verwirrend L Hospital auf keinen Bruch anzuwenden bzw. auf eine Zahl mit komplexer Exponenten.
Ich habe eine Frage die mir vielleicht weiter hilft beim Verständnis
ich hab den Grenzwert von
lim x->0 und die funktion [mm] \bruch{sin(x)^2}{x^2*cos(x)}
[/mm]
ich möchte nun l Hospital anwenden
und erhalte dann ja wenn ich Zähler und Nenner getrennt ableite folgendes
[mm] \bruch{sin(x)2cos(x)}{2x*(cos(x)+x^2-sin(x)}
[/mm]
Was mich ja nicht woran bringt.
Wie muss ich richtig an die Aufgabe ran gehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 Sa 19.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Ich sehe nur beim Exponenten einen Bruch und den Leite ich
> ja nicht sofort ab wenn ich l Hospital anwende - ich finde
> es verwirrend L Hospital auf keinen Bruch anzuwenden bzw.
> auf eine Zahl mit komplexer Exponenten.
>
> Ich habe eine Frage die mir vielleicht weiter hilft beim
> Verständnis
> ich hab den Grenzwert von
> lim x->0 und die funktion [mm]\bruch{sin(x)^2}{x^2*cos(x)}[/mm]
> ich möchte nun l Hospital anwenden
> und erhalte dann ja wenn ich Zähler und Nenner getrennt
> ableite folgendes
> [mm]\bruch{sin(x)2cos(x)}{2x*(cos(x)+x^2-sin(x)}[/mm]
> Was mich ja nicht woran bringt.
> Wie muss ich richtig an die Aufgabe ran gehen?
In diesem Fall könntest du erneut ableiten (Wieso?). Ob es
was bringt habe ich allerdings nicht ausprobiert.
Bei deiner Aufgabe musst du die Stetigkeit der Exponentialfunktion
benutzen und den Exponenten als Bruch darstellen. Es gilt:
[mm] (1+x)^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{1}{x}*\ln(1+x)}=e^{\frac{\ln(1+x)}{x}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow\limes_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=\limes_{x\rightarrow 0}e^{\frac{\ln(1+x)}{x}}\overset{\text{Stetigkeit}}{=}e^{\limes_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+x)}{x}}.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Sa 19.04.2014 | | Autor: | Coxy |
Also erst einmal vielen Dank für deine Mühe, ich weiß sie wirklich zu schätzen.
Ich verstehe es jedoch immer noch nicht.
Wo kann ich das genauer nachlesen bzw. wo nach muss ich suchen um eine Erklärung dafür zu finden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:37 Sa 19.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Also erst einmal vielen Dank für deine Mühe, ich weiß
> sie wirklich zu schätzen.
> Ich verstehe es jedoch immer noch nicht.
Etwas nicht verstehen ist nicht schlimm, aber es wäre besser
du würdest uns genau sagen was du nicht verstanden hast.
> Wo kann ich das genauer nachlesen bzw. wo nach muss ich
> suchen um eine Erklärung dafür zu finden?
Lies dir mal genau die Definition von L'Hôpital ![[]](/images/popup.gif) hier durch.
Vielleicht nochmal den anderen Grenzwert genauer ohne die
elegante Lösung (Differenzenquotient), sondern mit L'Hôpital:
Sei
[mm] f(x):=\frac{\sin(x)}{x}.
[/mm]
Zu berechnen ist
[mm] \lim_{x\to 0}f(x).
[/mm]
Wegen
[mm] f(0)=\frac{\sin(0)}{0}=\frac{0}{0}
[/mm]
dürfen wir die Regel von L'Hôpital verwenden und es gilt:
[mm] \lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{(\sin(x))'}{x'}=\lim_{x\to 0}\frac{cos(x)}{1}=\cos(0)=1.
[/mm]
Beachte: Wir berechnen nicht
[mm] (\frac{\sin(x)}{x})',
[/mm]
sondern leiten den Nenner und den Zähler einzeln ab.
Nun zurück zum anderen Teil.
[mm] (1+x)^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{1}{x}*\ln(1+x)}=e^{\frac{\ln(1+x)}{x}} [/mm]
[mm] \Rightarrow\limes_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=\limes_{x\rightarrow 0}e^{\frac{\ln(1+x)}{x}}\overset{\text{Stetigkeit}}{=}e^{\limes_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+x)}{x}}.
[/mm]
Demnach ist nur noch folgendes zu berechnen:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+x)}{x}.
[/mm]
Du kannst auch mal folgenden Grenzwert berechnen:
[mm] \limes_{x\rightarrow -1}\frac{2x^3+6x^2+6x+2}{x^2+2x+1}.
[/mm]
Tipp: Eine Anwendung von L'Hôpital reicht nicht aus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:01 Sa 19.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
> lim x->0 und die funktion [mm] \bruch{sin(x)^2}{x^2*cos(x)}
[/mm]
Ich würde es ohne L'Hôpital machen, denn es folgt direkt
[mm] \lim_{x\to 0}\frac{sin(x)^2}{x^2*cos(x)}=\lim_{x\to 0}(\frac{\sin(x)}{x})*(\frac{\sin(x)}{x})*(\frac{1}{\cos(x)})\overset{\text{Grenzwertsatz}}{=}1*1*1=1.
[/mm]
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