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Grenzwerte: Grenzwert berechnen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:52 Di 28.06.2005
Autor: marrrtina

Hallo, Ich habe eine Aufgabe und soll den Grenzwert berechnen:
[mm] \limes_{x\rightarrow\one}[(xlnx-1)/(lnx)-(x-2)/(x-1)] [/mm]
limes x-->1 soll das heissen
Es soll 0,5 herauskommen..... kann mir das jemand erklären?
Danke Gruss m.
        
Bezug
Grenzwerte: Funktion unklar
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:03 Di 28.06.2005
Autor: Loddar

Hallo Marrrtina!


Leider ist Deine zu untersuchende Funktion für mich nicht zu entziffern.

Bitte mach' Dich auch mit unserem Formeleditor vertraut ...



Meinst Du etwa ...    [mm]\limes_{x\rightarrow 1}\left[\bruch{\bruch{x*\ln(x)-1}{\ln(x)-(x-2)}}{x-1}\right][/mm]


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Grenzwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:12 Di 28.06.2005
Autor: marrrtina

Hallo, sorry die Funktion lautet:

[mm] \limes_{x\rightarrow\one}[((xlnx-1)/(lnx))-((x-2)/(x-1))] [/mm]

limes x-->1

Danke
Gruss m.
Bezug
                        
Bezug
Grenzwerte: Nochmal Rückfrage + Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:22 Di 28.06.2005
Autor: Loddar

Hallo nochmal ...


(Bitte neue Fragen zu bestehenden Aufgaben im selben Thread stellen!)


[mm]\limes_{x\rightarrow 1}\left[\bruch{x*\ln(x)-1}{\ln(x)}-\bruch{x-2}{x-1}\right][/mm]


So ??

Bring' doch erst mal alles auf einen Bruchstrich. Was für eine Ausdruck entsteht denn nun, wenn man $x \ = \ 1$ einsetzt?


Das riecht doch fast nach MBGrenzwertsatz nach de l'Hospital ...


Gruß
Loddar

Bezug
                                
Bezug
Grenzwerte: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:48 Di 28.06.2005
Autor: marrrtina

Hallo
Ich stehe hier:
... limes x-->1   [(x*lnx-1)*(x-1)-(x-2)*lnx] / [lnx(x-1)]

  = limes x-->1   [x²*lnx-2x*lnx-x+1+2*lnx] / [x*lnx-lnx]

Im Lösungsbuch steht, dass das gleich:
  = limes x-->1   [(4x-2)*lnx+4x-5] / [lnx+2]

  = -0.5  ist aber wie komm ich da hin ?
Vielen Dank schonmal für die Mühen
Gruss
m.

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwerte: Nochmal de l'Hospital
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:54 Di 28.06.2005
Autor: Loddar

Hallo marrrtina!


> Hallo
>  Ich stehe hier:
>   ... limes x-->1   [(x*lnx-1)*(x-1)-(x-2)*lnx] / [lnx(x-1)]

[ok]

  
> = limes x-->1   [x²*lnx-2x*lnx-x+1+2*lnx] / [x*lnx-lnx]

[ok] Auf diesen Ausdruck nunmehr ein 2. Mal MBde l'Hospital anwenden, da hier ja wieder ein Ausdruck [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] entsteht.


> Im Lösungsbuch steht, dass das gleich:
>    = limes x-->1   [(4x-2)*lnx+4x-5] / [lnx+2] = -0.5

[ok] Genau das erhalte ich auch ...


Gruß
Loddar

Bezug
                                                
Bezug
Grenzwerte: Rückfrage
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 10:41 Mi 29.06.2005
Autor: marrrtina

Hallo, ich stehe auf dem Schlauch und bitte deswegen darum, dass mir jemand die Umformung von:
       limes x-->1   [x²*lnx-2x*lnx-x+1+2*lnx] / [x*lnx-lnx]
bzw. nach de l´Hospital:
       limes x-->1   [2x*lnx+x-2*lnx-3+2/x] / [lnx+1-1/x]
in:
       limes x-->1   [(4x-2)*lnx+4x-5] / [lnx+2] = -0.5
vorrechnen kann.
Gruss m.


Bezug
                                                        
Bezug
Grenzwerte: kurze Erläuterung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:45 Mi 29.06.2005
Autor: Loddar

Hallo marrrtina!


> limes x-->1   [x²*lnx-2x*lnx-x+1+2*lnx] / [x*lnx-lnx]

Bis hierher ist klar, oder?



> bzw. nach de l´Hospital:
> limes x-->1   [2x*lnx+x-2*lnx-3+2/x] / [lnx+1-1/x]

Um auf diese Zeile zu kommen wendest Du MBde l'Hospital an und bildest in Zähler und Nenner jeweils die Ableitung.

Dabei mußt Du z.B. für [mm] $x^2*\ln(x)$ [/mm] die MBProduktregel anwenden:

[mm] $\left[ \ x^2*\ln(x) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] 2x*\ln(x) [/mm] + [mm] x^2*\bruch{1}{x} [/mm] \ = \ [mm] 2x*\ln(x) [/mm] + x$


Um die unangenehmen Doppelbrüche zu entfernen, werden Zähler und Nenner anschließend jeweils mit x erweitert.



> limes x-->1   [(4x-2)*lnx+4x-5] / [lnx+2] = -0.5

Nach den oben beschriebenen Schritten wird hier nun nochmals MBde l'Hospital angewandt.

Hier haben wir nun endlich einen Ausdruck, der für [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 1$ einen konkreten Zahlenwert annimmt: [mm] $\lim_{x \rightarrow 1} [/mm] [ \ ... \ ] \ = \ -0,5$


Gruß
Loddar

Bezug
                        
Bezug
Grenzwerte: Anderer Grenzwert
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:49 Di 28.06.2005
Autor: Loddar

Hallo marrrtina!


Ich habe diese Aufgabe jetzt mal vollständig durchgerechnet ...


Als Grenzwert erhalte ich allerdings [mm] $\red{-}0,5$ [/mm] !!

Jedenfalls mußt Du MBde l'Hospital 2-mal anwenden ...


Gruß
Loddar

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