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| Aufgabe | Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte. (Ist der Satz von l'Hospital anwendbar?)
(i) [mm] \limes_{x \rightarrow 0^{+}}\bruch{e^{sin(x)}-1}{x}
[/mm]
(ii) [mm] \limes_{x \rightarrow 0^{+}}\bruch{cos(x)}{x}
[/mm]
(iii) [mm] \limes_{x \rightarrow \infty}\bruch{ln(1+e^{x})}{\wurzel{1+x^2}} [/mm] |
(i)
Ich habe den Satz von l'Hospital angewendet, dies darf ich weil:
[mm] \limes_{x\rightarrow0^+}f(x)=\limes_{x\rightarrow0^+}e^{sin(x)}-1=\limes_{x\rightarrow0^+}e^0-1=1-1=0
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow0^+}g(x)=\limes_{x\rightarrow0^+}x=0
[/mm]
...außerdem sind f(x) und g(x) differenzierbar.
somit bekomme ich:
[mm] L:=\limes_{x\rightarrow0^+}\bruch{f'(x)}{g'(x)}=\limes_{x\rightarrow0^+}\bruch{cos(x)e^{sin(x)}}{1}=\limes_{x\rightarrow0^+}\bruch{cos(0)e^{sin(0)}}{1}=1
[/mm]
(ii)
Hier kann ich den Satz von l'Hospital nicht anwenden, da:
[mm] \limes_{x\rightarrow0^+}f(x)=\limes_{x\rightarrow0^+}cos(x)=cos(0)=1 [/mm] f(x) müsste den Grenzwert 0 haben um die Vorraussetzungen fpr l'Hospiatal zu erfüllen.
Nun muss ich versuchen x aus dem Nenner zu kürzen, leider kann ich keine Polynomendivision durch führen, ich sehe auch keine sinnvolle Erweiterung, hat jemand einen Tipp für mich, wie ich den x Wert aus dem Nenner bekomme?
[mm] \limes_{x\rightarrow0^+}\bruch{cos(x)}{x}
[/mm]
(iii)
Hier kann ich wieder l'Hospital anwenden, denn:
[mm] \limes_{x\rightarrow \infty}f(x)=\limes_{x\rightarrow \infty}ln(1+e^{x})=\infty [/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow \infty}g(x)=\limes_{x\rightarrow \infty}\wurzel{1+x^2}=\infty
[/mm]
auch hier sind wieder f(x) und g(x) differenzierbar und ich erhalte:
L:= [mm] \limes_{x\rightarrow \infty}\bruch{f'(x)}{g'(x)}= \limes_{x\rightarrow \infty}\bruch{\bruch{1}{1+e^x}}{\bruch{1}{2}(1+x^2)^{-\bruch{1}{2}}}=\limes_{x\rightarrow \infty}\bruch{1*\bruch{1}{2}(1+x^2)^{-\bruch{1}{2}}}{1+e^x}
[/mm]
...bin ich soweit richtig und wie kann ich bei (ii) weiter kommen?
Gruß Julia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:32 Fr 02.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
kurz zu (ii):
> (ii) [mm]\limes_{x \rightarrow 0^{+}}\bruch{cos(x)}{x}[/mm]
Bei $x [mm] \to [/mm] 0^+$ gilt ja [mm] $\cos(x) \nearrow 1\,.$ [/mm] Zu [mm] $\epsilon=1/2$ [/mm] findest Du also [mm] $\delta [/mm] > 0$ so, dass [mm] $\underbrace{1/2}_{=1-\epsilon} \le \cos(x) \le [/mm] 1$ und damit [mm] $\frac{\cos(x)}{x} \ge \frac{1}{2x}$ [/mm] für alle $0 < x < [mm] \delta$ [/mm] ist. Damit kommst Du sicher weiter, wenn Du nun [mm] $\underbrace{x}_{< \delta} \to [/mm] 0^+$ laufen läßt.
Alternativ:
Bei $x [mm] \to [/mm] 0^+$ kannst Du o.E. $0 < x [mm] \le \pi/2$ [/mm] annehmen. Dann gilt für alle diese [mm] $x\,$ [/mm] nun
[mm] $$\frac{\cos(x)}{x}=\frac{\sqrt{1-\sin^2(x)}}{x}=\sqrt{\frac{1}{x^2}-\frac{\sin^2(x)}{x^2}}\,.$$
[/mm]
Mit [mm] $\sin(x)/x \to [/mm] 1$ folgt auch [mm] $\sin^2(x)/x^2 \to [/mm] 1$ ($x [mm] \to [/mm] 0$), und damit kommst Du sicher auch weiter.
Beste Grüße,
Marcel
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Hey guten Morgen,
(ii) [mm]\limes_{x \rightarrow 0^{+}}\bruch{cos(x)}{x}[/mm]
ich habe versucht mit den Tipps zu arbeiten, bin aber wieder nicht zum Ziel gekommen...
Also zum ersten Tip:
Die Formalien:
Für alle [mm]x \to 0^+[/mm] läuft [mm]\cos(x) \nearrow 1\,.[/mm], und zu jedem [mm]\epsilon=1/2[/mm] existiert ein [mm]\delta > 0[/mm] so, dass [mm]\underbrace{1/2}\le \cos(x) \le 1[/mm].
Nun kann ich mit dem Sandwitch-Theorem abschätzen, für alle [mm]0 < x < \delta[/mm] gilt:
[mm]\frac{1}{x} \ge \frac{\cos(x)}{x} \ge \frac{1}{2x}[/mm]
Das Problem ist, wie bekomme ich x aus dem Nenner?
Der zweite Ansatz lautet:
$ [mm] \frac{\cos(x)}{x}=\frac{\sqrt{1-\sin^2(x)}}{x}=\sqrt{\frac{1}{x^2}-\frac{\sin^2(x)}{x^2}}=\sqrt{\frac{1}{x^2}-1}=\sqrt{\frac{1}{x^2}-\bruch{x^2}{x^2}}=\sqrt{\frac{1-x^2}{x^2}}=\sqrt{\frac{(1-x)(1+x)}{x^2}}=\sqrt{\frac{(1-x)(1+x)}{x*x}}= \sqrt{\bruch{1-x}{x}\bruch{1+x}{x}}$ [/mm]
...hier zeigt sich auch mein Problem, ich bekomme x nicht aus dem Nenner!!!
Gruß Julia
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Huhu,
> Das Problem ist, wie bekomme ich x aus dem Nenner?
du brauchst das nicht aus dem Nenner zu bekommen.
Wogegen läuft denn $ [mm] \limes_{x \rightarrow 0^{+}}\bruch{1}{x}$ [/mm] ?
Wenn du es wirklich zu einem schöneren Grenzwert umformen möchtest, dann kannst du Variablensubstitution durchführen.
Setze $y = [mm] \bruch{1}{x}$ [/mm] und bedenke, dass du den Laufindex vom Grenzwert noch anpassen musst!
MFG,
Gono
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> > Das Problem ist, wie bekomme ich x aus dem Nenner?du brauchst das nicht aus dem Nenner zu bekommen.
>
> Wogegen läuft denn [mm]\limes_{x \rightarrow 0^{+}}\bruch{1}{x}[/mm]
Hm okay:
$ [mm] \limes_{x \rightarrow 0^{+}}\bruch{1}{x}=\limes_{x \rightarrow 0^{+}}\infty [/mm] $
$ [mm] \limes_{x \rightarrow 0^{+}}\frac{\cos(x)}{x}=\limes_{x \rightarrow 0^{+}}\frac{\sqrt{1-\sin^2(x)}}{x}=\limes_{x \rightarrow 0^{+}}\sqrt{\frac{1}{x^2}-\frac{\sin^2(x)}{x^2}}=\limes_{x \rightarrow 0^{+}}\sqrt{\frac{1}{x^2}-1}=\sqrt{\infty-1}=\sqrt{\infty}=\infty [/mm] $
Somit divergiert meine Funktion $ [mm] \limes_{x \rightarrow 0^{+}}\frac{\cos(x)}{x}$ [/mm] bestimmt gegen unendlich.
> Wenn du es wirklich zu einem schöneren Grenzwert umformen
> möchtest, dann kannst du Variablensubstitution
> durchführen.
In welcher der zwei Rechnungen kann ich die Variablensubstitution nutzen?
> Setze [mm]y = \bruch{1}{x}[/mm] und bedenke, dass du den Laufindex
> vom Grenzwert noch anpassen musst!
Wieso muss ich dabei den Grenzwert anpassen, ich ändere dabei doch nur die Schreibweise?
Gruß Julia
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> Hm okay:
>
> [mm]\limes_{x \rightarrow 0^{+}}\bruch{1}{x}=\limes_{x \rightarrow 0^{+}}\infty [/mm]
Hm, rechts ist nen lim zuviel, aber sonst passts :)
> Somit divergiert meine Funktion [mm]\limes_{x \rightarrow 0^{+}}\frac{\cos(x)}{x}[/mm]
> bestimmt gegen unendlich.
Jop
> In welcher der zwei Rechnungen kann ich die
> Variablensubstitution nutzen?
Das dient nur der Anschauung und hat nur bedingt praktischen Sinn, aber das siehst du gleich.
> > Setze [mm]y = \bruch{1}{x}[/mm] und bedenke, dass du den Laufindex
> > vom Grenzwert noch anpassen musst!
>
> Wieso muss ich dabei den Grenzwert anpassen, ich ändere
> dabei doch nur die Schreibweise?
So: Bedenke, dass wenn [mm] $x\to [/mm] 0+$ dann $y = [mm] \bruch{1}{x} \to \infty$ [/mm] geht.
Letztlich verwendet man hier schon das Wissen, dass [mm] $\bruch{1}{x} \to \infty$.
[/mm]
Dann steht da: [mm] $\limes_{x \rightarrow 0^{+}}\bruch{1}{x} [/mm] = [mm] \limes_{y\rightarrow\infty}\bruch{1}{\bruch{1}{y}} [/mm] = [mm] \limes_{y\rightarrow\infty} [/mm] y$
Ist vielleicht nur ein bisschen anschaulicher 
MFG,
Gono.
> Gruß Julia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:40 Sa 03.07.2010 | | Autor: | Julia_stud |
Vielen Dank!
Gruß Julia
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 Fr 02.07.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Julia.
Aufgabe 1 ist korrekt.
Bei Aufgabe 3 ist die Ableitung der Zählerfunktion falsch, du hast die innere Ableitung vergessen.
[mm] h(x)=\ln(1+e^{x}) [/mm] ergibt mit der  Kettenregel abgeleitet:
[mm] h'(x)=\bruch{1}{1+e^{x}}*e^{x}
[/mm]
Danach musst du evtl. ein zweites Mal l'Hospital anwenden.
Für Aufgabe 2 würde ich mit der Gleichung [mm] \cos(x)=\wurzel{1-\sin^{2}(x)} [/mm] herangehen.
EDIT: Ich sehe gerade, dass Marcel da einen sehr guten Weg vorgeschlagen hat.
Marius
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Zu Aufgabe (iii):
Ich habe jetzt als [mm] L:=\limes_{x\rightarrow \infty}\bruch{f'(x)}{g'(x)}:
[/mm]
[mm] L:=\limes_{x\rightarrow \infty}\bruch{\bruch{1}{1+e^{x}}\cdot{}e^{x}}{\bruch{1}{2}(1+x^2)^{-\bruch{1}{2}}}=\limes_{x\rightarrow \infty}\bruch{\bruch{e^{x}}{1+e^{x}}}{\bruch{1}{2}(1+x^2)^{-\bruch{1}{2}}}=\limes_{x\rightarrow \infty}\bruch{e^{x}(\bruch{1}{2}(1+x^2)^{-\bruch{1}{2}})}{1+e^{x}} [/mm]
...nun wende ich erneut l'Hospital, dafür prüfe ich die Vorraussetzungen und die passen.
Ich erhalte dann:
[mm] f''(x)=(e^{x}(\bruch{1}{2}(1+x^2)^{-\bruch{1}{2}}))'= [/mm]
hier bekomme ich Schwierigkeiten, zuerst nach Produktregel:
[mm] f''(x)=(\bruch{1}{2}(1+x^2)^{-\bruch{1}{2}}))'*(e^{x}(\bruch{1}{2}(1+x^2)^{-\bruch{1}{2}}))
[/mm]
Das Problem ist die Ableitung von:
[mm] (\bruch{1}{2}(1+x^2)^{-\bruch{1}{2}}))'
[/mm]
Nach der Produktregel bekomme ich:
[mm] (\bruch{1}{2}(1+x^2)^{-\bruch{1}{2}}))'=0*(1+x^2))^{-\bruch{1}{2}}+\bruch{1}{2}(2x)^{-\bruch{1}{2}}=\bruch{1}{2}(2x)^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
Wie kann ich mit den $ [mm] ^{-\bruch{1}{2}} [/mm] $ rechnen?
[mm] g''(x)=(1+e^{x})'=e^x
[/mm]
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Hallo Julia_stud,
> Zu Aufgabe (iii):
>
> Ich habe jetzt als [mm]L:=\limes_{x\rightarrow \infty}\bruch{f'(x)}{g'(x)}:[/mm]
>
> [mm]L:=\limes_{x\rightarrow \infty}\bruch{\bruch{1}{1+e^{x}}\cdot{}e^{x}}{\bruch{1}{2}(1+x^2)^{-\bruch{1}{2}}}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du hast $g'$ falsch gebildet!
Du musst schon die Kettenregel benutzen!
[mm] $g(x)=\sqrt{1+x^2}\Rightarrow g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\cdot{}2x=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$
[/mm]
Verbessere das mal, danach nochmal ran mit de l'Hôpital, dann kannst du ne Menge kürzen und "schön" ausklammern, um den GW zu bestimmen ...
> [mm]=\limes_{x\rightarrow \infty}\bruch{\bruch{e^{x}}{1+e^{x}}}{\bruch{1}{2}(1+x^2)^{-\bruch{1}{2}}}=\limes_{x\rightarrow \infty}\bruch{e^{x}(\bruch{1}{2}(1+x^2)^{-\bruch{1}{2}})}{1+e^{x}}[/mm]
>
> ...nun wende ich erneut l'Hospital, dafür prüfe ich die
> Vorraussetzungen und die passen.
> Ich erhalte dann:
>
> [mm]f''(x)=(e^{x}(\bruch{1}{2}(1+x^2)^{-\bruch{1}{2}}))'=[/mm]
>
> hier bekomme ich Schwierigkeiten, zuerst nach Produktregel:
>
> [mm]f''(x)=(\bruch{1}{2}(1+x^2)^{-\bruch{1}{2}}))'*(e^{x}(\bruch{1}{2}(1+x^2)^{-\bruch{1}{2}}))[/mm]
>
> Das Problem ist die Ableitung von:
>
> [mm](\bruch{1}{2}(1+x^2)^{-\bruch{1}{2}}))'[/mm]
>
> Nach der Produktregel bekomme ich:
>
> [mm](\bruch{1}{2}(1+x^2)^{-\bruch{1}{2}}))'=0*(1+x^2))^{-\bruch{1}{2}}+\bruch{1}{2}(2x)^{-\bruch{1}{2}}=\bruch{1}{2}(2x)^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Wie kann ich mit den [mm]^{-\bruch{1}{2}}[/mm] rechnen?
>
> [mm]g''(x)=(1+e^{x})'=e^x[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Okay, also habe ich jetzt für mein $ L:=\limes_{x\rightarrow \infty}\bruch{f'(x)}{g'(x)}: $:
$ L:=\limes_{x\rightarrow \infty}\bruch{\bruch{1}{1+e^{x}}\cdot{}e^{x}}{\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}} $
Diesen Doppelbruch kann ich umschreiben als:
$ L:=\limes_{x\rightarrow \infty}\bruch{e^{x}\wurzel{1+x^2}}{(1+e^{x})x}}=\limes_{x\rightarrow \infty}\bruch{e^{x}\wurzel{1+x^2}}{x+xe^{x}}} $
Nun prüfe ich wieder die Voraussetzungen für l'Hospital und wende den Satz erneut an, ich bekomme:
$ L:=\limes_{x\rightarrow \infty}\bruch{f''(x)}{g''(x)}=\limes_{x\rightarrow \infty} \bruch{e^x*\wurzel{1+x^2}+e^x\bruch{x}{\wurzel{1+x^2}}}{1+1*e^x+xe^x}=\limes_{x\rightarrow \infty} \bruch{\wurzel{1+x^2}+\bruch{x}{\wurzel{1+x^2}}}{1+xe^x}=\limes_{x\rightarrow \infty} \bruch{\bruch{1+x^2+x}{\wurzel{1+x^2}}}{1+xe^x} $
Stimmt das jetzt noch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:32 Fr 02.07.2010 | | Autor: | Julia_stud |
Prima, vielen Dank!!!
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
