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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Mo 01.12.2008 | | Autor: | mary-ann |
Hallo!
Wollte mal wissen, wie ich genau zeigen kann, dass [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^{\alpha}}{e^{x}}=0?
[/mm]
Also das ist dasselbe wie [mm] x^{\alpha}*e^{-x} [/mm] und man sieht sofort, dass [mm] e^{-x} [/mm] schneller fällt als [mm] x^{\alpha} [/mm] für jedes [mm] \alpha\in\IR [/mm] und [mm] \alpha>0, [/mm] aber damit ist das ja nicht bewiesen.
Darf ich den Grenzwert folgendermaßen aufspalten: [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} x^{\alpha}*\limes_{x\rightarrow\infty} e^{-x}=\infty*0=0 [/mm] ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo mary-ann!
Das geht so (leider) nicht, da " [mm] $0*\infty$ [/mm] " ein unbestimmter Ausdruck ist. Hier kann letztendlich alles herauskommen.
Aber wende auf Deinen Bruch  de l'Hospital mindestens [mm] $\alpha$-mal [/mm] an.
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 Mo 01.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Der "Holzhammer" de l'Hospital ist nur anwendbar, wenn man die Regel schon verwenden darf.
Ganz elementar geht das so:
Wähle ein N > [mm] \alpha. [/mm] Für x>0 ist
[mm] e^x [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^n}{n!} [/mm] > [mm] \bruch{x^N}{N!},
[/mm]
also
0< [mm] \bruch{x^{\alpha}}{e^x} [/mm] < N! [mm] x^{\alpha -N} [/mm] = [mm] \bruch{N!}{x^{N-\alpha}}
[/mm]
Jetzt x--> [mm] \infty. [/mm] Beachte: [mm] N-\alpha [/mm] > 0
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Di 02.12.2008 | | Autor: | mary-ann |
Hm okay, den Schluss hab ich leider nicht so ganz verstanden. Wie kommst du auf
0< [mm] \bruch{x^{\alpha}}{e^x} [/mm] < [mm] N!x^{\alpha -N}
[/mm]
und was sagt mir das über meinen Grenzwert von [mm] \bruch{x^{\alpha}}{e^x}?
[/mm]
Kannst du das nochmal genauer erklären? Das wäre toll!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Di 02.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hm okay, den Schluss hab ich leider nicht so ganz
> verstanden. Wie kommst du auf
>
> 0< [mm]\bruch{x^{\alpha}}{e^x}[/mm] < [mm]N!x^{\alpha -N}[/mm]
>
Es war doch [mm] e^x [/mm] > [mm] \bruch{x^N}{N!} [/mm] . Gehe zum Kehrwert über und multipliziere mit [mm] x^{\alpha}
[/mm]
> und was sagt mir das über meinen Grenzwert von
> [mm]\bruch{x^{\alpha}}{e^x}?[/mm]
>
> Kannst du das nochmal genauer erklären? Das wäre toll!
0< [mm]\bruch{x^{\alpha}}{e^x}[/mm] < [mm]N!x^{\alpha -N}[/mm]
>
Der Ausdruck rechts geht für x--> [mm] \infty [/mm] gegen 0." Einschnürung !"
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Di 02.12.2008 | | Autor: | mary-ann |
Ahja sehr gut! Vielen Dank, jetzt hab ichs verstanden! :) Danke für deine Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:29 Di 02.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Bitteschön
FRED
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