Grenzwerte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Mo 08.09.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte:
[mm] \limes_{x\rightarrow1}\bruch{ln(x)}{\sqrt{x^2-1}}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\inty}\bruch{ln(x)}{\sqrt{x^2-1}} [/mm] |
Kann man hier überhaupt den grenzwert bestimmen?
[mm] \limes_{x\rightarrow1}\bruch{ln(x)}{\sqrt{x^2-1}}
[/mm]
Denn x<1 ist für Zähler/Nenner ja gar nicht definiert?
Andernfalls wäre ich so vorgegangen:
[mm] \limes_{x\rightarrow1}\bruch{ln(x)}{\sqrt{x^2-1}}=\bruch{0}{0}
[/mm]
[mm] \to [/mm] Bernoulli/de L'Hospital:
f(x)=ln(x)
[mm] f'(x)=\bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] g(x)=\sqrt{x^2-1}=u^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] u=x^2-1
[/mm]
u'=2x
[mm] g'(x)=\bruch{1}{2}*2*x*u^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{x}{\sqrt{x^2-1}}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow1}\bruch{ln(x)}{\sqrt{x^2-1}}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow1}\bruch{\bruch{1}{x}}{\bruch{x}{\sqrt{x^2-1}}}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow1}\bruch{\sqrt{x^2-1}}{x^2}=0
[/mm]
Könnte ich dann bei der zweiten Aufgabe sagen:
[mm] \limes_{x\rightarrow\inty}\bruch{ln(x)}{\sqrt{x^2-1}}=\bruch{\infty}{\infty}
[/mm]
[mm] \to [/mm] Bernoulli/de L'Hospital ?
Dann wieder wie oben f(x) und g(x) abgeleitet:
[mm] \limes_{x\rightarrow\inty}\bruch{ln(x)}{\sqrt{x^2-1}}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\sqrt{x^2-1}}{x^2}
[/mm]
[mm] =\bruch{\infty}{\infty}
[/mm]
nochmal ableiten:
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{x}{\sqrt{x^2-1}}}{2*x}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1}{2*\sqrt{x^2-1}}
[/mm]
=0
Oder muss ich das noch irgendwie anders beweisen, dass
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1}{2*\sqrt{x^2-1}}
[/mm]
eine Nullfolge ist. Oder ist das ganze sowieso falsch?
Danke und Gruß,
tedd
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Hallo tedd!
Die Ableitungen schauen gut aus!
(1) Beim ersten Grenzwert ist das Vorgehen mit Hospital in Ordnung, obwohl hier ein einseitiger Grenzwert vorliegt (Limes für x gegen 1 von oben). Der Grenzwert 0 ist richtig!
(2) Beim zweiten Grenzwert muss die Regel zweimal angewandt werden!
Da der entstehende Grenzwert für x -> [mm] \infty [/mm] existiert, ist keine weitere Rechnung notwendig! Der Grenzwert ist ebenfalls 0.
ok?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Mo 08.09.2008 | | Autor: | hobes |
Hallo tedd,
die Voraussetzungen für die Regel von de L'hospital sind ja beides mal erfüllt, also darfst du sie anwenden. Ergebnisse sehen richtig aus.
Zur zweiten Frage nach $ [mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1}{2\cdot{}\sqrt{x^2-1}} [/mm] $: Dies würde ich vom Status abhängig machen. Soll heißen: frisch und neu im neuen Mathekurs und alle haben keine Ahnung -> dann belegen. Kennt man sich schon und darf solche Sachen auch wissen --> dann so stehen lassen.
gruß hobes
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