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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Sa 05.07.2008 | | Autor: | Reinalem |
| Aufgabe | [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}
[/mm]
[mm] \bruch{\bruch{1}{2}x³+\bruch{1}{3}x²-\bruch{1}{6}x+4}{-\bruch{1}{3}x³+\bruch{1}{2}x²-\bruch{1}{5}x+2} [/mm] |
Hallo,
ich hab versucht diese Aufgabe zu lösen, indem ich den oberen und den unteren Bruch in ihre Linearfaktoren zerlege. Leider hab ich bei dem oberen Bruch keine Nullstelle gefunden mit der ich die Polynomdivision anfangen kann.
Nach der Faktorisierung von beiden Funktionen hätte ich geschaut, ob ich etwas kürzen kann.
Führt meine Idee zu einer Lösung?
Viele Grüße
Melanie
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Hallo Melanie,
wie du selber gemerkt hast, ist deine Methode hier nicht besonders erfolgversprechend, zumal du dir den Limes für [mm] x\to\infty [/mm] anschaust.
Was bei dem Bruch doch sofort auffällt ist, dass Zähler- und Nennergrad gleich sind, nämlich 3, das ist die höchste bei x vorkommende Potenz in Zähler und Nenner.
Also ist ein naheliegender Ansatz, mal in Zähler und Nenner [mm] x^3 [/mm] auszuklammern.
Mache das mal, dann kannst du es wegkürzen und dann bei dem verbleibenden Term den Grenzübergang [mm] x\to\infty [/mm] machen.
Du wirst sehen ... 
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 So 06.07.2008 | | Autor: | Reinalem |
Hallo,
danke für deinen Tipp Schachuzipus.
ich hab jetzt x³ ausgeklammert komm aber Leider nicht weiter.
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x³(\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}x^-1-\bruch{1}{6}x^-2+\bruch{4}{x³})}{x³(-\bruch{1}{3}+\bruch{1}{2}x^-1-\bruch{1}{5}x^-2+\bruch{2}{x³})}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}
[/mm]
[mm] \bruch{\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3x}-\bruch{1}{6x²}+\bruch{4}{x³}}{-\bruch{1}{3}+\bruch{1}{2x}-\bruch{1}{5x²}+\bruch{2}{x³}}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}
[/mm]
[mm] \bruch{\bruch{3x³+3x²-x+24}{6x³}}{\bruch{-10x³+15x²-6x+60}{30x³}}
[/mm]
Melanie
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Hollo Reinalem!
Ich finde, die Idee von Schachuzipus hat dich doch sehr weiter gebracht.
Du weißt sicher, dass der Limes einer Summe oder einer Differenz eines Quotienten oder eines Produkts gebildet wird, indem du den Limes der einzelnen Operanden bildest.
Alle Summanden sind doch Nullfolgen bis auf: [mm] \bruch{\bruch{1}{2}}{-\bruch{1}{3}}. [/mm] Also ist doch das dein gesuchter Limes..
Gruß
Angelika
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:54 So 06.07.2008 | | Autor: | Reinalem |
Hallo AbraxasRishi,
danke für den Hinweis, dass ich den Limes der einzelen Summanden bilden muss, das war mir nämlich nicht bewusst, weil ich in der Schule erst mit dem Thema angefangen hab.
Gruß
Melanie
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Hallo Melanie!
> danke für den Hinweis, dass ich den Limes der einzelen
Gerne 
> Summanden bilden muss, das war mir nämlich nicht bewusst,
> weil ich in der Schule erst mit dem Thema angefangen hab.
Das sind die Grenzwertsätze, ich hab sie dir in der vorigen Antwort in einem Satz zusammengefasst. Es gilt nämlich nicht nur für Summen sondern auch für.....Aber das wird sicher noch in der Schule kommen.
Was eine Nullfolge ist war dir hoffentlich klar. In deinem Beisp. bei [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] wächst der Nenner schneller als der Zähler(der hier z.B sogar konstant ist), und so ist der Limes 0.
z.B
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1}{x}=0
[/mm]
Alles Gute!
Angelika
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