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| Aufgabe | 1. Beweisen Sie die folgenden Aussagen mithilfe der Definition der Konvergenz:
Seien [mm] \alpha \in \IR [/mm] sowie [mm] (a_{n}) [/mm] mit [mm] n \in \IN [/mm] und [mm] (b_{n}) [/mm] mit [mm] n \in \IN [/mm] reelle Folgen mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} = a \in \IR [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_{n} = b \in \IR [/mm].
Dann gilt:
a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \alpha a_{n} = \alpha a [/mm]
b) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} + b_{n} = a + b [/mm]
2. Bestimmen Sie, falls existent, den Grenzwert der Folge [mm] x_{n} [/mm] mit [mm] n \in \IN [/mm].
Seien [mm] k, l \in \IN [/mm] mit [mm] k < l [/mm]. Dann sei [mm] x_{n} = (1 + \bruch{1}{n^{k}})^{n^{l}} [/mm] für alle [mm] n \in \IN [/mm].
Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis das Sandwich-Lemma und die Bernoullische Ungleichung benutzen. |
Hallo alle,
Ich habe wieder Schwierigkeiten mit Beweisen.
Erstmal Definition der Kovergenz einer Folge: Eine Folge [mm] a_{n} [/mm] mit n [mm] \rightarrow \infty [/mm] konvergiert gegen den Grenzwert a [mm] \in \IR [/mm] genau dann, wenn zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] N(\varepsilon) \in \IN [/mm] existiert, so dass für alle n mit n [mm] \ge N(\varepsilon) [/mm] gilt [mm] |a_{n} - a| < \varepsilon [/mm] . Die Folge [mm] a_{n} [/mm] mit n [mm] \rightarrow \infty [/mm] wird als konvergent bezeichnet.
zu 1:
a) Ich habe es so versucht:
Nach der Definition der Konvergenz gilt:
[mm] |\alpha a_{n} - \alpha a | < \varepsilon [/mm]
Daraus folgt:
[mm] \alpha a - \varepsilon < \alpha a_{n} < \alpha a + \varepsilon [/mm]
Dann alles durch [mm] \alpha [/mm] dividieren:
[mm] a - \bruch{\varepsilon}{\alpha} < a_{n} < a + \bruch{\varepsilon}{\alpha} [/mm]
Dann gilt:
[mm] |a_{n} - a| < \bruch{\varepsilon}{\alpha} [/mm]
Die Ungleichung mit [mm] \alpha [/mm] multiplizieren:
[mm] \alpha |a_{n} - a | < \varepsilon [/mm]
Das ist der einzige Weg, den nach der Definition der Konvergenz einer Folge ich finden konnte. Ich kann aber nicht kapieren, ob dies mir irgendwas bringt (oder ist das schon der Beweis?). Was soll denn genau in diesem Beweis gezeigt werden (wenn nicht das, was ich gezeigt habe)?
b) Das hier ist noch schwieriger. Ich habe versucht den Weg aus 1a zu benutzen aber:
[mm] |a_{n} + b_{n} - (a + b)| < \varepsilon [/mm]
Daraus folgt:
[mm] a+b-\varepsilon < a_{n} + b_{n} < a+b+\varepsilon [/mm]
Und weiter...? Mit dem Dividieren geht das jetzt nicht mehr...
Noch ein Versuch:
[mm] |a_{n} + b_{n} - (a + b)| < \varepsilon [/mm]
Daraus folgt:
[mm] |a_{n} - a + b_{n} - b)| < \varepsilon [/mm]
Dies bringt mich aber auch nicht weiter... Ich habe überlegt, ob wir nicht irgendwie [mm] a_{n} - a [/mm] und [mm] b_{n} - b [/mm] abtrennen und dann kleiner Epsilon setzen könnten, was uns dann an die Definition der Konvergenz näher bringen würde. Ich bin aber unsicher.
zu 2: Erstmal weise ich darauf hin, dass da die Potenz n nochmal hoch l genommen wird (der Buchstabe l ist sehr klein).
Hier bin ich hoffnungslos. Habe bei Wikipedia nachgeschaut, was die Bernoullische Ungleichung und die Sandwich Theorem sind aber habe keine Ahnung, wie man die beiden anwendet.
Sandwich Theorem (Einschnürungssatz): Es sei I ein Intervall, das einen Wert a enthält. Es seien f, g und h auf [mm] I\setminus\{a\} [/mm] definierte Funktionen. Wenn für jedes [mm] x\not=a [/mm] aus I gilt g(x) [mm] \le [/mm] f(x) [mm] \le [/mm] h(x),
sowie [mm] \lim_{x \to a} [/mm] g(x) = [mm] \lim_{x \to a} [/mm] h(x) = L, dann ist [mm] \lim_{x \to a} [/mm] f(x) = L.
Bernoulli Ungleichung: [mm] (1-x)^{n} \ge 1-xn [/mm].
Der linke Teil von Bernoulli Ungleichung hat ein wenig Ähnlichkeit mit [mm] x_{n} = (1 + \bruch{1}{n^{k}})^{n^{l}} [/mm]. Soll das überhaupt im Beweis zusammenhängen? Kann man da velleicht [mm] x = \bruch{1}{n^{k}} [/mm] und [mm] n = n^{l} [/mm] setzen? Mehr kann ich leider nicht sagen...
Bitte um Hilfe. Herzlichen Dank im Voraus.
Liebe Grüße
kitamrofni
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:41 Do 09.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst die Konvergenz von an benutzen. Dein vorgehen sagt wie.
an konv. daraus folgt es existiert ein N so dass für alle n>N gilt [mm] |an-a|<\varepsilon/\alpha.
[/mm]
Dann läufst du deinen Beweis rückwärts durch und hast ein N so dass [mm] |\alpha*an-\alpha*a|<\varepsilon [/mm] ist.
Beim 2. Bsp. fangst du an mit dem N1 für das [mm] |an-a|<\varepsilon/2 [/mm] und und N2 sodass |bn-b|< [mm] \varepsilon/2 [/mm] ist, dann wählst du [mm] N3\ge [/mm] max(N1,N2) und zeigst dass für dieses N3 die Beh [mm] |an+bn-a+b|<\varepsilon
[/mm]
Gruss leduart
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Hallo,
Vielen Dank für die Antwort. 1a habe ich geschafft.
Bei deiner Erklärung zur 1b verstehe ich nicht, wo [mm] |a_{n} - a| < \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] bzw. [mm] |b_{n} - b| < \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] herkommem? Oder genauer: wo kommt das [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] her? Und wie?
Wie ist es denn mit der 2. Aufgabe? Ideen? Die Buchstaben l und k irritieren mich besonders... Ich kann leider keine sinnvolle Ansätze finden...
Schöne Grüße
kitamrofni
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 Do 09.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo,
>
> Vielen Dank für die Antwort. 1a habe ich geschafft.
>
> Bei deiner Erklärung zur 1b verstehe ich nicht, wo [mm]|a_{n} - a| < \bruch{\varepsilon}{2}[/mm]
> bzw. [mm]|b_{n} - b| < \bruch{\varepsilon}{2}[/mm] herkommem? Oder
> genauer: wo kommt das [mm]\bruch{\varepsilon}{2}[/mm] her? Und wie?
Ich brauch, d.h. du brauchst ja später [mm] \varepsilon, [/mm] des halb wähl ich halt N1 und N2 so dass diese Ungl. gilt. wenns dir lieber ist nenn es statt [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] einfach [mm] \varepsilon_1 [/mm] und mach das [mm] \varepsilon_1 [/mm] am schluß so groß oder klein wie dus brauchst.
zu 2 hab ich keine Lust, aber probier mal was indem du statt l=k+(l-k) schreibst, wenigstens für eine Seite des Sandwichs.
Gruss leduart
> Wie ist es denn mit der 2. Aufgabe? Ideen? Die Buchstaben l
> und k irritieren mich besonders... Ich kann leider keine
> sinnvolle Ansätze finden...
>
> Schöne Grüße
>
> kitamrofni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 So 12.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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