Grenzwerte < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 So 10.05.2015 | | Autor: | fuoor |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
(i) [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta x^{4}}{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}=0
[/mm]
sowie
(ii) [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta x^{2} \Delta y^{2}}{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}=0 [/mm] |
Hallo!
Meine Idee wäre es, hier mit einer Abschätzung zu arbeiten. Ich bin nur im Moment verwirrt und mir ist nicht so ganz klar ob ich richtig abschätze, weil das irgendwie einen Knoten in meinem Kopf verursacht. Vielleicht ist der Ansatz ja auch schon falsch...
zu (i)
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta x^{4}}{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}\le \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta x^{4}}{\Delta x^{2}} [/mm] = [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \Delta x^{2}=0
[/mm]
und
zu (ii)
Hier habe ich einfach folgendes gemacht:
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta x^{2} \Delta y^{2}}{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}} [/mm] = [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta^{2} x^{2} y^{2}}{\Delta (x^{2}+y^{2})}=\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta x^{2} y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta y^{2}}{\bruch{1}{x^{2}}+y^{2}}=\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta}{\bruch{1}{x^{2}}+\bruch{1}{y^{2}}}=0 [/mm] (Da man ja sieht, dass [mm] \bruch{1}{x^{2}}+\bruch{1}{y^{2}} [/mm] unendlich groß werden, sodass der Grenzwert dann 0 sein muss)
Ist aber irgendwie alles super schwammig...
Vielen Dank für Kommentare, welcher Natur auch immer ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:51 So 10.05.2015 | | Autor: | abakus |
> Zeigen Sie:
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> (i) [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta x^{4}}{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}=0[/mm]
>
> sowie
>
> (ii) [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta x^{2} \Delta y^{2}}{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}=0[/mm]
>
> Hallo!
>
> Meine Idee wäre es, hier mit einer Abschätzung zu
> arbeiten. Ich bin nur im Moment verwirrt und mir ist nicht
> so ganz klar ob ich richtig abschätze, weil das irgendwie
> einen Knoten in meinem Kopf verursacht. Vielleicht ist der
> Ansatz ja auch schon falsch...
>
> zu (i)
>
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta x^{4}}{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}\le \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta x^{4}}{\Delta x^{2}}[/mm]
> = [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \Delta x^{2}=0[/mm]
>
> und
>
> zu (ii)
>
> Hier habe ich einfach folgendes gemacht:
>
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta x^{2} \Delta y^{2}}{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}[/mm]
> = [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta^{2} x^{2} y^{2}}{\Delta (x^{2}+y^{2})}=\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta x^{2} y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta y^{2}}{\bruch{1}{x^{2}}+y^{2}}=\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta}{\bruch{1}{x^{2}}+\bruch{1}{y^{2}}}=0[/mm]
> (Da man ja sieht, dass [mm]\bruch{1}{x^{2}}+\bruch{1}{y^{2}}[/mm]
> unendlich groß werden, sodass der Grenzwert dann 0 sein
> muss)
>
> Ist aber irgendwie alles super schwammig...
>
> Vielen Dank für Kommentare, welcher Natur auch immer ;)
Hallo,
mir ist nicht ganz klar, welche Bedeutung dieses Delta-Symbol haben soll (vor allem, nachdem es irgendwann mal mutterseelenallein im Zähler steht).
Deshalb nur ein vager Tipp: Denke mal daran, mit Polarkoordinaten zu arbeiten.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 So 10.05.2015 | | Autor: | fuoor |
Ja sry, das hätte ich vielleicht noch genauer beschreiben sollen. Es geht im Moment um Differentiation. Die gesuchten Grenzwerte sollen quasi, wenn ich das richtig verstanden habe, den "Fehler" der Differentiation im [mm] R^{n} [/mm] darstellen.
Deinen Hinweis bezüglich der Polarkoordinaten kann ich leider nicht so ganz nachvollziehen. Ich wusste gerade nicht wie ich alles in Polarkoordinaten umwandeln soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:32 Mo 11.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ja sry, das hätte ich vielleicht noch genauer beschreiben
> sollen. Es geht im Moment um Differentiation. Die gesuchten
> Grenzwerte sollen quasi,
... quasi ? ...
> wenn ich das richtig verstanden
> habe, den "Fehler" der Differentiation im [mm]R^{n}[/mm] darstellen.
Damit kann man kaum etwas anfangen. Kann es sein, dass folgendes gemeint ist:
$ [mm] \limes_{(\Delta x,\Delta y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta x^{4}}{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}=0 [/mm] $
?
FRED
>
> Deinen Hinweis bezüglich der Polarkoordinaten kann ich
> leider nicht so ganz nachvollziehen. Ich wusste gerade
> nicht wie ich alles in Polarkoordinaten umwandeln soll.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:05 Mo 11.05.2015 | | Autor: | fuoor |
> > Ja sry, das hätte ich vielleicht noch genauer beschreiben
> > sollen. Es geht im Moment um Differentiation. Die gesuchten
> > Grenzwerte sollen quasi,
>
>
> ... quasi ? ...
>
>
> > wenn ich das richtig verstanden
> > habe, den "Fehler" der Differentiation im [mm]R^{n}[/mm] darstellen.
>
> Damit kann man kaum etwas anfangen. Kann es sein, dass
> folgendes gemeint ist:
>
> [mm]\limes_{(\Delta x,\Delta y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta x^{4}}{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}=0[/mm]
>
> ?
>
> FRED
> >
Ja, das ist gemeint. Das ist ja auch die grundsätzliche Fragestellung die ich am Anfang hatte und zu der ich eine Lösungstheorie aufgestellt hatte. Das "quasi" ist ein unnötiges Wort...das darf man sich wegdenken. Das beschreibt offensichtlich meine Unsicherheit.
Wahrscheinlich verstehe ich jetzt aber wieder deine Aussage nicht. Ich habe leider oft Schwierigkeiten deinen Aussagen zu folgen, ich bemühe mich aber. Ich muss die Frage trotzdem stellen: Was bedeutet das jetzt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:18 Mo 11.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> > > Ja sry, das hätte ich vielleicht noch genauer beschreiben
> > > sollen. Es geht im Moment um Differentiation. Die gesuchten
> > > Grenzwerte sollen quasi,
> >
> >
> > ... quasi ? ...
> >
> >
> > > wenn ich das richtig verstanden
> > > habe, den "Fehler" der Differentiation im [mm]R^{n}[/mm] darstellen.
> >
> > Damit kann man kaum etwas anfangen. Kann es sein, dass
> > folgendes gemeint ist:
> >
> > [mm]\limes_{(\Delta x,\Delta y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta x^{4}}{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}=0[/mm]
>
> >
> > ?
> >
> > FRED
> > >
> Ja, das ist gemeint.
Dann geht es also bei
i) um [mm] \limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \bruch{x^4}{x^2+y^2}
[/mm]
und
bei
ii) um [mm] \limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \bruch{x^2y^2}{x^2+y^2}.
[/mm]
> Das ist ja auch die grundsätzliche
> Fragestellung die ich am Anfang hatte und zu der ich eine
> Lösungstheorie aufgestellt hatte. Das "quasi" ist ein
> unnötiges Wort...das darf man sich wegdenken. Das
> beschreibt offensichtlich meine Unsicherheit.
>
> Wahrscheinlich verstehe ich jetzt aber wieder deine Aussage
> nicht.
Welche ?
> Ich habe leider oft Schwierigkeiten deinen Aussagen
> zu folgen, ich bemühe mich aber. Ich muss die Frage
> trotzdem stellen: Was bedeutet das jetzt?
Was ?
zu i) Rechne nach: 0 [mm] \le \bruch{x^4}{x^2+y^2} \le x^2 [/mm] für alle (x,y) [mm] \ne [/mm] (0,0). Dann folgt
[mm] \limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \bruch{x^4}{x^2+y^2}=0.
[/mm]
zu ii) Rechne nach: 0 [mm] \le \bruch{x^4}{x^2+y^2} \le x^2+y^2 [/mm] für alle (x,y) [mm] \ne [/mm] (0,0). Dann folgt
[mm] \limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \bruch{x^2y^2}{x^2+y^2}=0.
[/mm]
FRED
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