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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Sa 08.03.2014 | | Autor: | lunaris |
| Aufgabe | Ermitteln Sie die Grenzwerte :
[mm] \limes_{n\rightarrow\0} [/mm] = ( 3x² [mm] -7\wurzel{x}) [/mm] : ( 4x - 2x³ ) |
Hallo,
vielleicht hat ja jemand trotz des schönen Wetters Zeit mir zu helfen.
Ich habe im Zähler und Nenner x ausgeklammert, das kürzt sich ja dann weg und bekomme als Ergebnis dann 0.
In der Musterlösung wird [mm] \wurzel{x} [/mm] ausgeklammert und somit ist das Ergebnis [mm] -\infty.
[/mm]
Wo liegt bitte mein Fehler ?
Vielen Dank !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:01 Sa 08.03.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ermitteln Sie die Grenzwerte :
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\0}[/mm] = ( 3x² [mm]-7\wurzel{x})[/mm] : ( 4x -
> 2x³ )
> Hallo,
> vielleicht hat ja jemand trotz des schönen Wetters Zeit
> mir zu helfen.
>
> Ich habe im Zähler und Nenner x ausgeklammert, das kürzt
> sich ja dann weg und bekomme als Ergebnis dann 0.
Wie denn das?
Du hast:
[mm] \lim\limits_{x\to0}\frac{3x^{2}-7\sqrt{x}}{4x-2x^{3}}
[/mm]
[mm] =\lim\limits_{x\to0}\frac{x\cdot\left(3x-\frac{7}{\sqrt{x}}\right)}{x\cdot(4-2x^{2})}
[/mm]
[mm] =\lim\limits_{x\to0}\frac{3x-\frac{7}{\sqrt{x}}}{4-2x^{2}}
[/mm]
Das hilft aber nicht weiter, da du immer noch nicht x=0 setzen darfst.
> In der Musterlösung wird [mm]\wurzel{x}[/mm] ausgeklammert und
> somit ist das Ergebnis [mm]-\infty.[/mm]
[mm] \lim\limits_{x\to0}\frac{3x^{2}-7\sqrt{x}}{4x-2x^{3}}
[/mm]
[mm] =\lim\limits_{x\to0}\frac{\sqrt{x}\cdot(3x\cdot\sqrt{x}-7)}{\sqrt{x}\cdot(4\sqrt{x}-2x^{2}\cdot\sqrt{x})}
[/mm]
[mm] =\lim\limits_{x\to0}\frac{3x\cdot\sqrt{x}-7}{4\sqrt{x}-2x^{2}\cdot\sqrt{x}}
[/mm]
Nun kannst du x=0 setzen, und hast die Form "-7/0" und das ist [mm] -\infty
[/mm]
> Wo liegt bitte mein Fehler ?
> Vielen Dank !
>
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:50 Sa 08.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Du hast:
>
> [mm]=\lim\limits_{x\to0}\frac{3x-\frac{7}{\sqrt{x}}}{4-2x^{2}}[/mm]
>
> Das hilft aber nicht weiter, da du immer noch nicht x=0
> setzen darfst.
>
> [mm]\lim\limits_{x\to0}\frac{3x^{2}-7\sqrt{x}}{4x-2x^{3}}[/mm]
>
> [mm]=\lim\limits_{x\to0}\frac{3x\cdot\sqrt{x}-7}{4\sqrt{x}-2x^{2}\cdot\sqrt{x}}[/mm]
>
> Nun kannst du x=0 setzen, und hast die Form "-7/0" und das
> ist [mm]-\infty[/mm]
>
Wenn man im zweiten Term x=0 setzen darf und [mm] -7/0=-\infty [/mm] ist, dann kann man das genauso gut im ersten Term machen und erhält [mm] \bruch{0-\infty}{4}=-\infty.
[/mm]
Gruß Sax.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Sa 08.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Ich muss meinem Vorredner widersprechen. Entweder du hast die
Aufgabenstellung nicht richtig aufgeschrieben oder die Muster-
lösung ist falsch. Der Grenzwert existiert jedenfalls nicht!
Sei [mm] f(x):=\frac{3x^2-7\sqrt{x}}{4x-2x^3}, [/mm] dann gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=-\infty\not=i\infty=\limes_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)
[/mm]
[mm] \Rightarrow\limes_{x\rightarrow 0}f(x) [/mm] existiert nicht.
edit: Der Grenzwert existiert nur dann, wenn wir tatsächlich
nur den Definitionsbereich [mm] D_f:=\IR_{>0}\setminus\{\sqrt{2}\} [/mm] betrachten.
Gruß
DieAcht
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 19:35 Sa 08.03.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
>
> Ich muss meinem Vorredner widersprechen. Entweder du hast
> die
> Aufgabenstellung nicht richtig aufgeschrieben oder die
> Muster-
> lösung ist falsch. Der Grenzwert existiert jedenfalls
> nicht!
>
> Sei [mm]f(x):=\frac{3x^2-7\sqrt{x}}{4x-2x^3},[/mm] dann gilt:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=-\infty\not=i\infty=\limes_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)[/mm]
Hallo DieAcht,
aufgrund des Definitionsbereichs der gegebenen Funktion (x darf gar nicht negativ sein, da sonst die Wurzel nicht definiert wäre) stellt sich die Frage nach [mm]\limes_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)[/mm] überhaupt nicht.
Gruß Abakus
>
> [mm]\Rightarrow\limes_{x\rightarrow 0}f(x)[/mm] existiert nicht.
>
>
> Gruß
> DieAcht
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 20:19 Sa 08.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo abakus,
Der Definitionsbereich der Funktion ist nicht angegeben. Es
ist klar, dass der Grenzwert gegen [mm] x_0=0 [/mm] interessant ist,
denn genau in [mm] x_0, [/mm] sowie in [mm] \pm\sqrt{2}$, [/mm] ist die Funktion nicht defi-
niert. Im Grunde hast du aber Recht. Wenn wir davon ausgehen
würden, dass die Funktion für [mm] \IR_{-} [/mm] nicht definiert ist, dann
stimmt die Aussage. Ich finde es dennoch, in diesem Fall,
"unschön" einfach [mm] $x\to [/mm] 0$ zu schreiben. Damit assoziere ich,
dass der beidseitige Grenzwert existiert und übereinstimmt.
Gruß
DieAcht
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