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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 Do 27.10.2005 | | Autor: | Uwe_weU |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi!
Ich habe folgendes Problem. Ich kann es einfach nicht kappieren, wie das mit der Epsilonumgebung gemeint ist...
Also:
In der Vorlesung haben wir uns folgendes aufgeschrieben:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists n_{0} \in \IN \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : n [mm] \ge n_{0}
[/mm]
und weiter
[mm] |a_n [/mm] - a|< [mm] \varepsilon \gdw a-\varepsilon \le a_n \le a+\varepsilon
[/mm]
In einem Beitrag etwas eher, wurde das schonmal ganz gut erklärt, dass ja [mm] n_0 [/mm] das Glied der Zahlenfolge ist, ab dem alle anderen Glieder, die größer sind in dieser Epsilonumgebung liegen.
Und JETZT mein großes Problem:
WIE WENDET MAN DAS AN???????
Meine Beispielaufgabe:
[mm] a_n [/mm] = [mm] 1-(-1)^{n}*\bruch{1}{n}
[/mm]
entscheide, ob es eine Nullfolge ist!
Natürlich nicht, weil durch Probieren und einsetzten verschiedener Zahlen (1,2,3,10,100,1000,10000) ergibt sich näherungsweise [mm] lim_n\to \infty [/mm] = 1
Wie zeige ich das?
Mein Lösungsvorschlag:
ich nehme an, dass a=0 ist, somit ergibt sich
[mm] |a_n-a|<\varepsilon [/mm] also
[mm] |a_n|<\varepsilon
[/mm]
[mm] \varepsilon [/mm] muss jetzt > 0 gewählt werden (klar, weil Epsilonumgebung)
UND WEITER????? Ich kann mir den nächsten schritt nicht erklären???
Bitte helft mir, ich bin schon so weit alleine gekommen...jetzt darf das nicht einreissen 
DANKE!!!!
Uwe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:44 Do 27.10.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Uwe
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
>> In der Vorlesung haben wir uns folgendes aufgeschrieben:
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists n_{0} \in \IN \forall[/mm] n
> [mm]\in \IN[/mm] : n [mm]\ge n_{0}[/mm]
> und weiter
> [mm]|a_n[/mm] - a|< [mm]\varepsilon \gdw a-\varepsilon \le a_n \le a+\varepsilon[/mm]
>
> In einem Beitrag etwas eher, wurde das schonmal ganz gut
> erklärt, dass ja [mm]n_0[/mm] das Glied der Zahlenfolge ist, ab dem
> alle anderen Glieder, die größer sind in dieser
> Epsilonumgebung liegen.
> Und JETZT mein großes Problem:
> WIE WENDET MAN DAS AN???????
> Meine Beispielaufgabe:
>
> [mm]a_n[/mm] = [mm]1-(-1)^{n}*\bruch{1}{n}[/mm]
>
> entscheide, ob es eine Nullfolge ist!
> Natürlich nicht, weil durch Probieren und einsetzten
> verschiedener Zahlen (1,2,3,10,100,1000,10000) ergibt sich
> näherungsweise [mm]lim_n\to \infty[/mm] = 1
> Wie zeige ich das?
> Mein Lösungsvorschlag:
> ich nehme an, dass a=0 ist, somit ergibt sich
> [mm]|a_n-a|<\varepsilon[/mm] also
> [mm]|a_n|<\varepsilon[/mm]
> [mm]\varepsilon[/mm] muss jetzt > 0 gewählt werden (klar, weil
> Epsilonumgebung)
2 Möglichkeiten: du gibst ein [mm] N_{0} [/mm] an ab dem für alle [mm] \varepsilon [/mm] <0.5 (oder irgend ein anderer fester Wert) alle an AUSSERHALB de intervalls liegen , hier zeigst du also, dass |an|>0.5 ab n=3 .
Oder du zeigst, dass an den Grenzwert 1 hat. [mm] N_{0} [/mm] so bestimmen, dass [mm] |an-1|<\varepsilon [/mm] . dann ist es natürlich auch keine Nullfolge.
Gruss leduart.
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