Grenzwertbestimmung/Taylorreih < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm]f(x)=(f(x)+x)^2, f(0)=0 [/mm].
Bestimme [mm]\lim_{x->\infty}\frac{f(x)}{x^2} [/mm] |
Moin, moin!
Ich möchte den Grenzwert ueber die Taylorreihe finden, komme aber auf keinen gruenen Zweig:
[mm]
\lim_{x->\infty}\frac{f(x)}{x^2}=\lim_{x->\infty}\frac{f(x)+f'(x)x+\frac{f''(x)x^2}{2!}...}{x^2}
[/mm]
Wenn ich in den obigen Ausdruck
[mm]f'(x)=2\left( f'(x)\left( f(x)+x \right) +f(x)+x\right) [/mm]
und
[mm]f''(x)=2\left(f''(x)\left(f(x)+x\right)+f'(x)\left(f'(x)+4\right) \right) +2[/mm]
einsetze, dann sehe ich keine sinnvolle Möglichkeit fuer Kuerzungen. Mit der Regel von l'Hospital komme ich auch nicht weiter, da ich den Grenzwert der Ableitungen nicht kenne. Hat jemand eine Idee?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:23 Di 13.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]f(x)=(f(x)+x)^2, f(0)=0 [/mm].
> Bestimme
> [mm]\lim_{x->\infty}\frac{f(x)}{x^2}[/mm]
> Moin, moin!
> Ich möchte den Grenzwert ueber die Taylorreihe finden,
> komme aber auf keinen gruenen Zweig:
>
> [mm]
\lim_{x->\infty}\frac{f(x)}{x^2}=\lim_{x->\infty}\frac{f(x)+f'(x)x+\frac{f''(x)x^2}{2!}...}{x^2}
[/mm]
Im Zähler oben rechts steht nicht die Taylorreihe ! Um welchen Punkt willst Du denn entwickeln ?
Ist wirklich [mm] \lim_{x->\infty}\frac{f(x)}{x^2} [/mm] gemeint und nicht etwa
[mm] \lim_{x-> 0}\frac{f(x)}{x^2} [/mm] ?
Welche Differenzierbarkeitseigenschaften soll f denn haben ? Wo ist f definiert ?
> Wenn ich in den obigen Ausdruck
> [mm]f'(x)=2\left( f'(x)\left( f(x)+x \right) +f(x)+x\right)[/mm]
>
> und
>
> [mm]f''(x)=2\left(f''(x)\left(f(x)+x\right)+f'(x)\left(f'(x)+4\right) \right) +2[/mm]
Diese Ableitung ist falsch !
Wenn f 2-mal stetig differenzierbar ist, so bekomme ich mit 2 - maliger Amwendung von L'Hospital:
[mm] \lim_{x-> 0}\frac{f(x)}{x^2}=(f'(0)+1)^2
[/mm]
FRED
>
> einsetze, dann sehe ich keine sinnvolle Möglichkeit fuer
> Kuerzungen. Mit der Regel von l'Hospital komme ich auch
> nicht weiter, da ich den Grenzwert der Ableitungen nicht
> kenne. Hat jemand eine Idee?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo fred97 und danke fuer die schnelle Antwort!
Tschuldigung, es sollte
[mm]\lim_{x->0}\frac{f(x)}{x^2} [/mm]
heissen. Brauche wohl noch eine Tasse Kaffee...
Differenzierbarkeitseigenschaften und Definitionsraum werden in der Aufgabenstellung nicht gegeben.
Ich schau mir die Aufgabe vor dem Hintergrund Deiner Antwort noch einmal an.
Andreas
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> Differenzierbarkeitseigenschaften und Definitionsraum
> werden in der Aufgabenstellung nicht gegeben.
Hallo,
ich kann mir kaum vorstellen, daß es keine weiteren Angaben gibt.
Gibt es eine vorangehende Teilaufgabe mit einem Einleitungstext?
Gruß v. Angela
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Hallo Angela!
Nee, es gibt keine weiteren Angaben. Aber mit l'Hospital (und Fred's Hilfe) geht's glaube ich so:
$f'(x)=2(f(x)f'(x)+f'(x)x+f(x)+x) [mm] \Rightarrow [/mm] f'(0)=0$
$f''(x)=2(f''(x)(f(x)+x)+f'(x)(f'(x)+2)+1) [mm] \Rightarrow [/mm] f''(0)=2$
[mm] $\lim_{x->0}\frac{f(x)}{x^2}=\lim_{x->0}\frac{f''(0)}{2}=1$
[/mm]
Wenn das die richtige Antwort ist, dann ist die Aufgabe gelöst. Ich frage mich nur, wie man das auch ueber Taylor hinkriegt.
Gruss
Andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:56 Di 13.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Angela!
> Nee, es gibt keine weiteren Angaben. Aber mit l'Hospital
> (und Fred's Hilfe) geht's glaube ich so:
> [mm]f'(x)=2(f(x)f'(x)+f'(x)x+f(x)+x) \Rightarrow f'(0)=0[/mm]
>
> [mm]f''(x)=2(f''(x)(f(x)+x)+f'(x)(f'(x)+2)+1) \Rightarrow f''(0)=2[/mm]
>
> [mm]\lim_{x->0}\frac{f(x)}{x^2}=\lim_{x->0}\frac{f''(0)}{2}=1[/mm]
> Wenn das die richtige Antwort ist, dann ist die Aufgabe
> gelöst.
Es stimmt.
> Ich frage mich nur, wie man das auch ueber Taylor
> hinkriegt.
Zu x [mm] \ne [/mm] 0 gibt es ein [mm] s_x [/mm] zwischen 0 und x mit:
$ f(x) = [mm] f(0)+f'(0)x+\bruch{f''(0)}{2}x^2+\bruch{f'''(s_x)}{6}x^3= x^2+\bruch{f'''(s_x)}{6}x^3$
[/mm]
Damit ist
[mm] \bruch{f(x)}{x^2}= 1+\bruch{f'''(s_x)}{6}x
[/mm]
Ist nun f''' in 0 stetig, so folgt: [mm] \bruch{f(x)}{x^2} \to [/mm] 1 für x [mm] \to [/mm] 0
FRED
>
> Gruss
> Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 Di 13.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred97 und danke fuer die schnelle Antwort!
> Tschuldigung, es sollte
> [mm]\lim_{x->0}\frac{f(x)}{x^2}[/mm]
> heissen. Brauche wohl noch eine Tasse Kaffee...
> Differenzierbarkeitseigenschaften und Definitionsraum
> werden in der Aufgabenstellung nicht gegeben.
> Ich schau mir die Aufgabe vor dem Hintergrund Deiner
> Antwort noch einmal an.
>
> Andreas
ist "beantwortet"
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:04 Mi 14.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Manchmal sieht man den Baum vor lauter Wäldern nicht....
Aus
$ [mm] f(x)=(f(x)+x)^2$ [/mm] und $ f(0)=0 $
folgt durch auflösen der quadratischen Gleichung $ [mm] f(x)=(f(x)+x)^2$ [/mm] unter Beachtung von f(0)=0:
$f(x)= [mm] \bruch{1}{2}-x-\wurzel{ \bruch{1}{4}-x}$,
[/mm]
wobei x [mm] \le [/mm] 1/4 sein muß. Für diese x ist stets [mm] \bruch{1}{2}-x+\wurzel{ \bruch{1}{4}-x}>0. [/mm] Erweitert man mit dem letzten Ausdruck, so erhält man:
[mm] $f(x)=\bruch{x^2}{\bruch{1}{2}-x+\wurzel{ \bruch{1}{4}-x}}$, [/mm] also
[mm] $\bruch{f(x)}{x^2}= \bruch{1}{\bruch{1}{2}-x+\wurzel{ \bruch{1}{4}-x}} \to [/mm] 1$ für $x [mm] \to [/mm] 0$
FRED
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