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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Samoth |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe Probleme folgende Aufgabe zu lösen:
Bestimmen sie die Parameter [mm] \alpha , \beta \in\IR [/mm] so, daß
[mm] \lim_{n \to 0} \bruch{x^4}{\alpha\,(\sin x)^2 + x^2 + \beta\,(1 - \cos x)} &=& 1 [/mm]
Da Zähler und Nenner für n -> 0 gegen 0 streben, war mein Ansatz erst mal es mit l'Hospital zu versuchen.
dann erhalte ich:
[mm] \lim_{n \to 0} \bruch{4x^3}{2\alpha\,(\sin x) (\cos x) + 2x + \beta\, \sin x)} &=& 1 [/mm]
und noch mal l'Hospital:
[mm] \lim_{n \to 0} \bruch{12x^2}{2\alpha\,((\cos x)^2 - (\sin x)^2) + 2 + \beta\,\cos x)} &=& 1 [/mm]
...jetzt kann ich aber immer noch nicht sehen wie die Parameter gewählt werden sollen, damit der Grenzwert 1 ist.
Meiner Ansicht nach, ist der Grenzwert immer 0, egal wie man die Parameter wählt.
Habe ich irgendwas übersehen, oder ist der Ansatz falsch?
Ich wäre dankbar für jeden Hinweis...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:12 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Die Idee, die Regel von L'Hospital anzuwenden, scheint vielversprechend. Schauen wir uns dein Ergebnis mal an:
$ [mm] \lim_{n \to 0} \bruch{12x^2}{2\alpha\,((\cos x)^2 - (\sin x)^2) + 2 + \beta\,\cos x)} [/mm] &=& 1 $
Für $x=0$ ist der Zähler 0, der Nenner im Allgemeinen aber nicht - Widerspruch. Der Nenner muss Null sein, damit der Grenzwert überhaupt noch 1 sein kann. Folglich muss [mm] $2\alpha+2+\beta=0\gdw \beta=-2(\alpha+1)$ [/mm] gelten. Setzt du dies ein, kannst du die Regel von L'Hospital abermals anwenden und erhältst:
$ = [mm] \lim_{x\to 0} \frac{12x^2}{2\alpha( cos^2(x)-sin^2(x))+2-2(\alpha +1) cos(x)}$
[/mm]
$ = [mm] \lim_{x\to 0} \frac{24x}{-8\alpha sin(x)\cdot cos(x))+2(\alpha+1)sin(x)}$
[/mm]
$ = [mm] \lim_{x\to 0} \frac{24}{-8\alpha (cos^2 (x)-sin^2 (x))+2(\alpha +1)cos(x)}$
[/mm]
$ = [mm] \frac{24}{-8\alpha+2\alpha+2}=\frac{24}{-6\alpha +2}$
[/mm]
Daraus folgt [mm] $\alpha=-\frac{11}{3}$ [/mm] und [mm] $\beta =\frac{22}{3}-2=\frac{16}{3}$.
[/mm]
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:27 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Samoth |
Hallo Hanno!
Ich danke dir für deine schnelle Antwort.
Ich habe mal wieder den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen.... :(
Grüße,
Samoth
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