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Grenzwertbestimmung: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:52 So 06.01.2013
Autor: Dome1994

Aufgabe
Bestimmen Sie für die Funktion [mm] f:\IR\setminus{0}\to\IR, [/mm] gegeben durch
f (x) = [mm] (1-x)*\bruch{sin(x)}{|x|}; [/mm]

Edit Marcel: Formel korrigiert: Anstatt $f (x) = [mm] (1−x)*\bruch{sin(x)}{|x|};$ [/mm]
kann man die Funktion nun richtig als $f (x) = [mm] (1-x)*\bruch{sin(x)}{|x|}$ [/mm]
erkennen!


den rechts- und den linksseitigen Grenzwert für x gegen 0.
Lässt sich f an der Stelle x = 0 stetig ergänzen?


Hallo zusammen,
Ich brauche bitte eure Hilfe bei obenstehender Aufgabe. Und zwar komm ich einfach nicht drauf, wie ich den Term umschreiben kann, so dass ich ihn gegen 0 laufen lassen kann.
Ich hoffe da kann mir jemand einen kleinen Denkanstoß geben :)
Schon mal vielen Dank im Vorraus!

LG Dome

        
Bezug
Grenzwertbestimmung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:58 So 06.01.2013
Autor: M.Rex

Hallo

Beachte, dass

[mm]|x|=\begin{cases} x, & \mbox{fuer } x\geq0 \\ -x, & \mbox{fuer } x<0 \end{cases}[/mm]

Damit wird dann deine Funktion zu:
EDIT: Deine Funktion hatte ein -, das habe ich verbessert.

[mm](x-1)\cdot\frac{\sin(x)}{|x|}=\begin{cases} (x-1)\cdot\frac{\sin(x)}{x}, & \mbox{fuer } x>0 \\ (x-1)\cdot\frac{\sin(x)}{-x}, & \mbox{fuer } x<0 \end{cases}[/mm]


Nun betrachte mal die beiden Grenzwerte an der Stelle x=0

Marius


Bezug
                
Bezug
Grenzwertbestimmung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:19 So 06.01.2013
Autor: Dome1994

Wenn ich x=0 einsetze bekomme ich bei beiden 0 raus, oder?



Bezug
                        
Bezug
Grenzwertbestimmung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:22 So 06.01.2013
Autor: M.Rex


> Wenn ich x=0 einsetze bekomme ich bei beiden 0 raus, oder?
>  
>  

Nein, dazs schau dir mal meine eben erstellte zweite Antwort an.

Marius


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Bezug
Grenzwertbestimmung: Noch nen Tipp:
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:20 So 06.01.2013
Autor: M.Rex

Es gilt:

[mm] $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}$ [/mm]
[mm] $=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin(x)-0}{x-0}$ [/mm]
[mm] $=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0}$ [/mm]

Nun hast du gerade den Differenzenquotienten dort stehen, also ist
[mm] $=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin(x)-0}{x-0}$ [/mm]
gerade die Ableitung der Sinusfunktion an der Stelle x=0

Damit:
[mm] $=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin(x)-0}{x-0}=\cos(0)=1$ [/mm]

Marius


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Grenzwertbestimmung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:27 So 06.01.2013
Autor: Dome1994

Ok, dann ist also 1 der obere Grenzwert.
Und wie siehts mit dem unteren aus?
Sorry wenn ich mich grad bissl blöd anstell aber ich steig grad net so wirklich durch.

LG Dome


Bezug
                        
Bezug
Grenzwertbestimmung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:50 So 06.01.2013
Autor: M.Rex


> Ok, dann ist also 1 der obere Grenzwert.

1 ist der beidseitige Grenzwert
[mm] \lim\limits_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x} [/mm]


>  Und wie siehts mit dem unteren aus?
>  Sorry wenn ich mich grad bissl blöd anstell aber ich
> steig grad net so wirklich durch.
>  
> LG Dome
>  

Marius


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