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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:03 Fr 05.08.2005 | | Autor: | rotzel |
Guten Abend,
folgende Aufgabe gibt mir zu Schaffen:
Bestimmen Sie den Grenzwert
[mm]\lim_{x\to a}{\frac{x^m - a^m}{x^n - a^n}}[/mm]
Normalerweise würde ich ein Grenzwertaufgabe vereinfachen und den Grenzwert x einsetzen und hätte ein Lösung. Bei dieser Aufgabe weiss ich wie ich sie umformen soll, oder gar vereinfachen. Sezte ich direkt die Grenze ein bekomme ich den Ausdruck 0. Wie packe ich diese Aufgabe am besten an?
Besten Dank für eure Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 Fr 05.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo rotzel!
Kennst Du bereits den  Grenzwertsatz nach de l'Hospital ??
Für $x \ [mm] \red{=} [/mm] \ a$ erhält man ja den den Ausdruck [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] und darf also mit de l'Hospital arbeiten und kommt damit sehr schnell zum Ziel.
Ein anderer Lösungsweg wäre zunächst in Nenner und Zähler jeweils [mm] $a^m$ [/mm] bzw. [mm] $a^n$ [/mm] auszuklammern:
[mm] $\limes_{x\rightarrow a}\bruch{x^m-a^m}{x^n-a^n} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow a}\bruch{a^m*\left[\left(\bruch{x}{a}\right)^m-1\right]}{a^n*\left[\left(\bruch{x}{a}\right)^n-1\right]} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a^m}{a^n}*\limes_{x\rightarrow a}\bruch{\left(\bruch{x}{a}\right)^m-1}{\left(\bruch{x}{a}\right)^n-1} [/mm] \ = \ [mm] a^{m-n}*\limes_{x\rightarrow a}\bruch{\bruch{\left(\bruch{x}{a}\right)^m-1}{\bruch{x}{a}-1}}{\bruch{\left(\bruch{x}{a}\right)^n-1}{\bruch{x}{a}-1}}$
[/mm]
Substitution $z \ := \ [mm] \bruch{x}{a}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $\limes_{x\rightarrow a}\bruch{x^m-a^m}{x^n-a^n} [/mm] \ = \ [mm] a^{m-n}*\limes_{\red{z}\rightarrow \red{1}}\bruch{\bruch{\red{z}^m-1}{\red{z}-1}}{\bruch{\red{z}^n-1}{\red{z}-1}}$
[/mm]
Und nun betrachte mal den verbliebenen Bruch und lies Dir dazu mal diese Frage (mit Antwort) durch ...
Und, zu welchem Ergebnis kommst Du?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:18 Sa 06.08.2005 | | Autor: | rotzel |
Hallo Loddar,
zunächst mal besten Dank für den zündenden Funken. Die Formel de l'Hospital kenne ich, bin aber nicht auf die Idee gekommen die hier anzuwenden und den Limes so umzuformen wie du es gemacht hast, habe ich nicht hinbekommen. Aber jetz habe ich folgende Lösung erhalten:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow a}\bruch{x^m-a^m}{x^n-a^n} [/mm] $
Zähler und Nenner ableiten
$ [mm] \limes_{x\rightarrow a}\bruch{m*x^{m-1}}{n*x^{n-1}} [/mm] $
zusammenfassen und für x=a einsetzen gibt schlussendlich
$ [mm] \bruch{m}{n}* a^{m-n} [/mm] $
Gruss rotzel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:29 Sa 06.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo rotzel!
> zusammenfassen und für x=a einsetzen gibt schlussendlich
> [mm]\bruch{m}{n}* a^{m-n}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Das habe ich auch erhalten!
Gruß
Loddar
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Hi, rotzel,
da über den Parameter a keine Aussage getroffen wird, muss man - so denke ich - zumindest die Fälle
a=0 und a [mm] \not= [/mm] 0 unterscheiden.
(Mit m und n sind ja hoffentlich natürliche Zahlen gemeint, also: m,n [mm] \in \{1; 2; 3; ...\}. [/mm] Sonst nehmen die Fallunterscheidungen Überhand!)
1. Fall: a=0.
Dann erhält man: [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x^{m}}{x^{n}}.
[/mm]
Dies nun wiederum ergibt:
(a) 1, falls m=n,
(b) 0, falls m>n
(c) [mm] \pm\infty [/mm] (je nach Annäherung von rechts oder links gegen 0) für n>m.
2. Fall: [mm] a\not= [/mm] 0
Hier gilt die von Loddar beschriebene Lösung.
Schlussbemerkung: Man erkennt, dass in allen Fällen (außer für a=0 und m<n) die zugehörige Funktion f mit dem Funktionsterm
f(x) = [mm] \bruch{x^{m}-a^{m}}{x^{n}-a^{n}}
[/mm]
an der Stelle x = a eine stetig behebbare Definitionslücke aufweist.
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