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Grenzwertbestimmung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:26 Di 26.10.2010
Autor: Kato

Aufgabe
Bestimmen sie den Grenzwert der nachstehenden Zahlenfolge:

[mm]\left(1+\bruch{1}{n^2}\right)^n [/mm]

Hallo liebe Mathefreunde,

ich verzweifel langsam an dieser Aufgabe. Ich gehe davon aus, dass der Grenzwert 1 ist, da laut der Bernoullischen Ungleichung [mm]\left(1+\bruch{1}{n^2}\right)^n \ge 1+\bruch{1}{n^2}*n = 1+\bruch{1}{n}[/mm]. Aber den Grenzwert mittels Definition (also [mm] \forall \epsilon > 0\; ...[/mm] ) zu beweisen oder zu zeigen, dass die Folge monoton fällt (habe [mm]a_n - a_n_+_1 > 0 [/mm] und [mm] \bruch{a_n}{a_n_+_1} >1 [/mm] probiert), bekomme ich irgendwie nicht hin. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

Liebe Grüße,
Kato

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Grenzwertbestimmung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:49 Di 26.10.2010
Autor: leduart

Hallo
am einfachsten zeigen, dass der ln der Folge gegen 0 konv.
dazu musst du allerdings die Reihe für ln(1+x) kennen.
oder ihr habt [mm] lim(1+x/n)^n=e^x [/mm] dann nim x=1/n
Gruss leduart



Bezug
        
Bezug
Grenzwertbestimmung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:59 Mi 27.10.2010
Autor: fred97

Bekannt dürfte sein:

      (*)       $ [mm] \left(1+\bruch{1}{k}\right)^k \le [/mm] e $  für k [mm] \in \IN. [/mm]

Setze [mm] $a_n:= \left(1+\bruch{1}{n^2}\right)^n [/mm] $

Aus (*) folgt dann:   [mm] $a_n^n \le [/mm] e$  für n [mm] \in \IN [/mm]

Es folgt:

            $1 [mm] \le a_n \le \wurzel[n]{e}$ [/mm]   für n [mm] \in \IN. [/mm]

Jetzt $ n [mm] \to \infty$ [/mm]

FRED

Bezug
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