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Grenzwertbestimmung: Zur Kontrolle
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:12 Mi 25.03.2009
Autor: JulianTa

Aufgabe
Bestimmen sie [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \wurzel[n]{n \cdot \ln{n}} [/mm]

Hallo liebe "Matheräumer",
es wäre nett, wenn jemand mal gerade über meine Lösung drüberschauen könnte, da ich mir nicht so hundertprozentig sicher bin:

Also:
[mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \wurzel[n]{n \cdot \ln{n}} [/mm]

= [mm] \underbrace{\lim_{n \rightarrow \infty} \wurzel[n]{n}}_{\rightarrow 1} \cdot \lim_{n \rightarrow \infty}\wurzel[n]{\ln{n}} [/mm]

= [mm] \lim_{n \rightarrow \infty}\wurzel[n]{\ln{n}} [/mm]

Es gilt für alle n [mm] \geq [/mm] 3:
1 [mm] \leq \ln{n}, [/mm] da ja [mm] e^1 \in [/mm] (2,3)

[mm] \Rightarrow [/mm] 1 [mm] \leq \wurzel[n]{\ln{n}}; [/mm] für alle n [mm] \geq [/mm] 3

Es gilt ausserdem:
[mm] \ln{n} \leq [/mm] n; für alle n [mm] \geq [/mm] 3

[mm] \Rightarrow \wurzel[n]{\ln{n}} \leq \wurzel[n]{n}; [/mm] für alle n [mm] \geq [/mm] 3

Also insgesamt
1 [mm] \leq \wurzel[n]{\ln{n}} \leq \underbrace{\wurzel[n]{n}}_{\rightarrow 1} [/mm]

Mit dem Einschließungsprinzip folgt dann, dass
[mm] \wurzel[n]{\ln{n}} \rightarrow [/mm] 1

Also gilt:
[mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \wurzel[n]{n \cdot \ln{n}} [/mm]  = 1

[mm] \Box [/mm]

Sieht für meinen Geschmack ganz gut aus, aber ist es das auch?
Lieben Dank!


        
Bezug
Grenzwertbestimmung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:16 Mi 25.03.2009
Autor: fred97

Ja das ist es !

FRED

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