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Hallo
ich soll herausfinden, ob
[mm] a_n [/mm] := [mm] \bruch{(3n + 1)(n - 3)}{4n^2 - 1}
[/mm]
konvergent ist und wenn ja, wo der grenzwert liegt.
Wenn ich das ein bisschen umstelle, komme ich auf
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{3n^2 - 8n - 3}{4n^2 - 1}.
[/mm]
Mit groesserwerdendem n ist eigentlich nur noch der Teil
[mm] \bruch{3n^2}{4n^2}
[/mm]
relevant, denn -8n, -3 und -1 werden zu [mm] n^2 [/mm] verschwindend klein.
Ein Einsetzen von hohen Werten fuer n bestaetigt meine Annahme, dass die Folge gegen [mm] \bruch{3}{4} [/mm] konvergiert. Aber ist das als Beweis ausreichend? Welche Vorueberlegungen wuerdet ihr anstellen, bei der Konvergenz- und Grenzwertbestimmung? Wie wuerdet ihr es hieb- und stichfest zeigen?
Viele Gruesse,
Martin
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Hallo Martin,
deine Vermutung bzgl. des GW ist richtig.
Um es ganz deutlich zu machen, würde ich im Zähler und Nenner jeweil [mm] $n^2$ [/mm] ausklammern und kürzen.
Dann hast du [mm] \bruch{3-\frac{8}{n}-\frac{3}{n^2}}{4-\frac{1}{n^2}}
[/mm]
Dann würde ich für Zähler und Nenner jeweils mit dem Satz über die Summe von GWen und für den Bruch mit dem Satz über die Division von GWen argumentieren.
Gruß
schachuzipus
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Ok, ich habe jetzt noch eine andere Grenzwertbestimmung geuebt:
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{2n + (-1)^n}{n + 2}
[/mm]
Dann wird umgestellt in:
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{2n}{n + 2} [/mm] + [mm] \bruch{-1}{n}
[/mm]
Jetzt argumentiere ich:
[mm] \bruch{2n}{n + 2} [/mm] < [mm] \bruch{2n}{n}
[/mm]
Da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2n}{n} [/mm] = 2 [mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2n}{n + 2} [/mm] = 2.
Weiter geht es mit:
fuer gerade n gilt: 0 < [mm] \bruch{1}{n + 2} [/mm] = [mm] \bruch{-1^n}{n + 2} [/mm] < [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
fuer ungerade n gilt: [mm] \bruch{-1}{n} [/mm] < [mm] \bruch{-1}{n + 2} [/mm] = [mm] \bruch{-1^n}{n + 2} [/mm] < 0
Da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{-1}{n} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{-1^n}{n} [/mm] = 0
Also gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] = 2 + 0 = 2
Ist das schluessig so oder fehlt an der Darlegung irgendwas?
Danke,
Martin
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Hallo Martin!
Dein Weg an sich ist okay. Allerdings viel zu kompliziert ...
Mit der oben gezeigten Methode mit Ausklammern geht das wesentlich schneller:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n \ = \ \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2n + (-1)^n}{n + 2} \ = \ \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n*\left[2 + \bruch{(-1)^n}{n}\right]}{n*\left(1 + \bruch{2}{n}\right)} \ = \ \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2 + \bruch{(-1)^n}{n}}{1 + \bruch{2}{n}} \ = \ \bruch{2 + \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-1)^n}{n}}{1 + \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{n}} \ = \ \bruch{2 + 0}{1 +0} \ = \ ...[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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