Grenzwertbestimmung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:46 Mi 03.01.2007 | | Autor: | Nico82 |
Hallo,
zur Vorbereitung auf eine demnächst anstehende Klausur geht es um die Lösung diverser Übungsaufgaben. Ich verweise einfach mal auf das Übungsblatt: ![[]](/images/popup.gif) http://ls5.math.uni-mannheim.de/fileadmin/lehre/HS2006/Analysis_I/Uebungsblaetter/ueb07.pdf
Konkret geht es m Aufgabe1 und wie man hier korrekt den Grenzwert berechnet bzw. sinnvolle Teilfolgen bestimmt.
Die Grundidee ist klar: die Folge derart umformen, dass man rückschlüsse aus bekannten Folgen ziehen kann(z.B. 1/n). Über Tipps, Anregungen etc. würde ich mich freuen!
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt).
Vielen Dank im Voraus!
Grüsse,
Nico
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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> zur Vorbereitung auf eine demnächst anstehende Klausur geht
> es um die Lösung diverser Übungsaufgaben. Ich verweise
> einfach mal auf das Übungsblatt:
> http://ls5.math.uni-mannheim.de/fileadmin/lehre/HS2006/Analysis_I/Uebungsblaetter/ueb07.pdf
>
> Konkret geht es m Aufgabe1 und wie man hier korrekt den
> Grenzwert berechnet bzw. sinnvolle Teilfolgen bestimmt.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich könnte mir vorstellen, daß es sinnvoll ist, wenn Du Deine Aufgabe "genußbereit" hier präsentierst. Vermutlich bekommst du schneller Antwort.
Ich jedenfalls bin nicht bereit, mir erst etwas herunterzuladen. Und dann müßte ich beim Antworten auch noch alles selbst schreiben statt die copy-Funktion zu verwenden...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:18 Mi 03.01.2007 | | Autor: | Nico82 |
| Aufgabe | Wenn vorhanden, berechnen Sie die Grenzwerte der Folgen. Falls diese nicht konvergent sind, bestimmen Sie, ob es eine konvergente Teilfolge gibt, und berechnen Sie deren Grenzwert.
a)
[mm] \left( \bruch{2n + 1}{3n - 1} \right)^3 [/mm] |
Danke an Angela für den Hinweis, habe den Aufgabenteil a) abgetippt um es den potentiell Helfenden einfacher zu machen 
Tja mein Problem ist im Grunde ein verständlicher Weg der zur Lösung der Aufgabe führt.
Mein Ansatz: Grenzwertbetrachtung zunächst für den Teil in der Klammer ohne die Potenz, das ergibt 2/3. Nun ziehe ich den Grenzwert der Folge von der Fole ab:
[mm]\left|\left( \bruch{2n + 1}{3n - 1} \right) - \bruch{2}{3} \right|[/mm]
Hier komme ich auf keinen grünen Zweig mehr. Wie rechnet man an dieser Stelle weiter um den Grenzwert der Folge zu berechnen?
Besten Dank im Voraus!
Grüsse,
Nico
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> Wenn vorhanden, berechnen Sie die Grenzwerte der Folgen.
> Falls diese nicht konvergent sind, bestimmen Sie, ob es
> eine konvergente Teilfolge gibt, und berechnen Sie deren
> Grenzwert.
>
> a)
>
> [mm]\left( \bruch{2n + 1}{3n - 1} \right)^3[/mm]
>
> Tja mein Problem ist im Grunde ein verständlicher Weg der
> zur Lösung der Aufgabe führt.
>
> Mein Ansatz: Grenzwertbetrachtung zunächst für den Teil in
> der Klammer ohne die Potenz, das ergibt 2/3. Nun ziehe ich
> den Grenzwert der Folge von der Fole ab:
Hallo,
ich ahne, daß Du da irgendetwas mit dem [mm] \varepsilon-Kriterium [/mm] im Schilde führst. Das ist aber überhaupt nicht nötig.
Den Grenzwert für [mm] a_n:=\bruch{2n + 1}{3n - 1} [/mm] hast du ja schon gefunden.
Wie eigentlich?
Falls Du ihn so gefunden hast: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2n + 1}{3n - 1}= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2+\bruch{1}{n}}{3-\bruch{1}{n}}=\bruch{2}{3}, [/mm] ist das so beweiskräftig, daß Du nichts weiter erklären muß.
Mit dem Satz über das Produkt konvergenter Folgen bekommst Du nun
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{2n + 1}{3n - 1})^3=(\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2n + 1}{3n - 1})^3=...
[/mm]
Einfach, oder?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Mi 03.01.2007 | | Autor: | Nico82 |
Jep, [mm] \varepsilon [/mm] ist gemäß unserem Skript das Mittel der Wahl. Ich habe den Grenzwert für [mm] a_n:=\bruch{2n + 1}{3n - 1} [/mm] eher geraten("sieht man ja") :)
Da das doch so einfach ist geht dummerweise mein "Plan" nicht auf die Lösung mit Hilfe des [mm] \varepsilon [/mm] Kriteriums zu sehen. In diesem Sinne wäre ich unendlich dankbar wenn du - oder jemand anders - mir mit dem Weg über [mm] \varepsilon [/mm] helfen könntet.
Danke im Voraus!
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> Jep, [mm]\varepsilon[/mm] ist gemäß unserem Skript das Mittel der
> Wahl.
Wahrlich, ich sage Dir: wie ich es gemacht habe, das ist absoluter Standard, und so macht "man" das in Übungen und Klausuren...
Na gut, aber zeigen wir [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2n + 1}{3n - 1}=\bruch{2}{3} [/mm] mit dem [mm] \varepsilon- [/mm] Kriterium:
sei [mm] \varepsilon>0. [/mm] sei [mm] n_0>... [/mm] (das überlegen wir später und schreiben es dann auf.)
Für alle [mm] n>n_0 [/mm] gilt:
[mm] \left|\left( \bruch{2n + 1}{3n - 1} \right) - \bruch{2}{3} \right| [/mm] = | [mm] \bruch{3(2n + 1)-2(3n - 1)}{3(3n - 1)}| [/mm] = | [mm] \bruch{5}{3(3n - 1)}| =\bruch{5}{3(3n - 1)}<\bruch{5}{3(2n)}<\bruch{1}{n}<... [/mm]
Aha. Wir wählen [mm] n_0>\bruch{1}{\varepsilon} [/mm] und erhalten
...< [mm] \varepsilon.
[/mm]
Also konvergiert [mm] \bruch{2n + 1}{3n - 1} [/mm] gegen [mm] \bruch{2}{3}, [/mm] und folglich konvergiert [mm] (\bruch{2n + 1}{3n - 1})^3 [/mm] gegen [mm] (\bruch{2}{3})^3.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:34 Mi 03.01.2007 | | Autor: | Nico82 |
Ich danke dir vielmals für deine Hilfsbereitschaft und natürlich den Lösungsweg! Einen schönen Abend noch.
Grüsse,
Nico
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