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| Aufgabe | Existiert der Grenzwert? Falls ja geben Sie den Wert an!
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 1} \bruch{x^2+3x-4}{x-1} [/mm] |
Hallo zusammen,
meine Frage ist, wie ich dabei vorgehen muss um das zu prüfen und anschließend gegebenenfalls den Grenzwert zu berechnen.
Viele Liebe Grüße der mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 Mi 13.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathedepp!
beim Einsetzen des Werte $x \ = ß 1$ entsteht ja der unbestimmte Ausdruck [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] .
Führe daher mal eine  Polynomdivision [mm] $\left(x^2+3x-4\right):(x-1)$ [/mm] durch.
Alternativ kannst Du auch für $x \ := \ 1+h$ einsetzen und die Grenzwertbetrachtung [mm] $h\rightarrow [/mm] 0$ durchführen:
$ [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{(1+h)^2+3*(1+h)-4}{(1+h)-1} [/mm] $
Gruß
Loddar
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Danke Loddar habs hinbekommen, stehe aber nun wieder vor 2 neuen Problemen:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{\wurzel{x^2+1} -1}{x}
[/mm]
und
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{x^2}{\wurzel[3]{1+x^3} -1}
[/mm]
Kannst du mir vielleicht nochmal helfen??? Viele Grüße mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Mi 13.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathedepp!
Bei der ersten Aufgabe den Bruch zu einer 3. binomischen Formel im Zähler mit [mm] $\left( \ \wurzel{x^2+1} \ \red{+} \ 1 \ \right)$ [/mm] erweitern.
Bei der 2. Aufgabe fällt mir spontan nur de l'Hospital ein ... aber auch hier kann man bestimmt entsprechend geschickt erweitern.
Gruß
Loddar
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Aber wenn ich bei der ersten den Bruch mit
[mm] \left( \ \wurzel{x^2+1} \ \red{+} \ 1 \ \right) [/mm] erweitere hab ich doch dann nach kürzen folgende funktion
[mm] \bruch{x}{\wurzel{x^2+1}+1} [/mm] damit habe ich doch buzgl. des limes x gegen 0 doch auch nichts gewonnen.
oder vertuh ich mich da???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 Mi 13.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Was erhältst Du denn, wenn Du hier den Wert $x \ = \ 0$ einsetzt?
Das ist Dein Grenzwert.
Gruß
Loddar
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achso ja stimmt....ich depp
aber bei der zweiten komm ich mit l'hopital auch nicht viel weiter irgendwie, weiß nicht genau wie ich das ableiten soll (den Nenner)....weiß aber auch nicht wie ich das geschickt erweitern könnte.
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nein, leider nicht so ganz....
sieht dann die erste ableitung des Nenners so aus? :
[mm] 3x^2 \bruch{1}{3} (1-x^3)^{\bruch {-2}{3}}
[/mm]
und dann?? darf ich so lange ableiten wie ich will??
stimmt das so oder bin ich falsch? wenn ja wäre ich froh um die korrekte anwendung....danke schon mal
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Hi,
also du hast:
[mm] (1+x^{3})^{\bruch{1}{3}}-1
[/mm]
Jetzt leitest du ab:
[mm] u(x)=1+x^{3}
[/mm]
[mm] v(x)=(...)^{\bruch{1}{3}}
[/mm]
[mm] u'(x)=3*x^{2}
[/mm]
[mm] v'(x)=\bruch{1}{3}*(...)^{-\bruch{2}{3}}
[/mm]
Jetzt:
[mm] v'(u(x))*u'(x)=\bruch{1}{3}*(1+x^{3})^{-\bruch{2}{3}}*3*x^{2}
[/mm]
Also bis auf das Vorzeichen sind wir uns da einig ^^
Bis denn
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ok hab meinen fehler gesehen, aber in bezug auf die aufgabe bringt mir das doch nicht viel, bzw. bringt mich ja auch nicht großartig weiter oder???
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> aber in bezug auf die aufgabe
> bringt mir das doch nicht viel, bzw. bringt mich ja auch
> nicht großartig weiter oder???
Hallo,
ich finde schon, daß man damit ein ganzes Stück weiterkommt.
Du weißt nun
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{x^2}{\wurzel[3]{1+x^3} -1}=\limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{2x}{\bruch{1}{3}\cdot{}(1+x^{3})^{-\bruch{2}{3}}\cdot{}3\cdot{}x^{2}}
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hi angela,
danke für deinen Hinweis.
aber davon kann ich doch jetzt immernoch nicht den limes nehmen, oder?
könnte doch höchstens nochmal l'hopital anwenden, aber dadurch bekomm ich das x aus dem Nenner ja auch nicht als Fakor weg, im Gegenteil, kommen ja immer mehr dazu...
kannst du mir nochmal helfen?
viele Grüße, der mathedepp_No.1
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> Hi angela,
>
> danke für deinen Hinweis.
> aber davon kann ich doch jetzt immernoch nicht den limes
> nehmen, oder?
Warum nicht?
Was käme denn heraus?
Gruß v. Angela
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[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{x^2}{\wurzel[3]{1+x^3} -1}=\limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{2x}{\bruch{1}{3}\cdot{}(1+x^{3})^{-\bruch{2}{3}}\cdot{}3\cdot{}x^{2}}
[/mm]
Ich würde doch dann hier wenn ich für x null einsetze, durch Null teilen, da der Nenner doch immer null wir durch das [mm] x^2 [/mm] als Faktor???
Viele GRüße, der mathedepp_No.1
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> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{x^2}{\wurzel[3]{1+x^3} -1}=\limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{2x}{\bruch{1}{3}\cdot{}(1+x^{3})^{-\bruch{2}{3}}\cdot{}3\cdot{}x^{2}}[/mm]
>
> Ich würde doch dann hier wenn ich für x null einsetze,
> durch Null teilen, da der Nenner doch immer null wir durch
> das [mm]x^2[/mm] als Faktor???
>
> Viele GRüße, der mathedepp_No.1
[mm] ...=\limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{2}{\bruch{1}{3}\cdot{}(1+x^{3})^{-\bruch{2}{3}}\cdot{}3\cdot{}x}
[/mm]
Nun hat man jedenfalls nicht mehr die Situation [mm] \bruch{0}{0}.
[/mm]
Was passiert denn nun mit dem Ausdruck oben, wenn x gegen Null geht? Der Nenner geht, wie Du richtig sagst, gegen Null. Und? Was bedeutet das für den Gesamtausdruck?
Gruß v. Angela
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Bedeutet das jetzt dass der limes nicht existier???
viele Grüße, der mathedepp_No.1
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> Bedeutet das jetzt dass der limes nicht existier???
So würd' ich das sehen: die Folge geht gegen [mm] \infty [/mm] .
Gruß v. Angela
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