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| Aufgabe | [mm] (\bruch{n+1}{n})^{-2n}
[/mm]
Bestimmen sie den Grenzwert für n gegen unendlich. |
Reicht es, hier nachzuweisen, dass der Grenzwert von [mm] (\bruch{n+1}{n}) [/mm] = 1 ist und dann darauf zu schließen, dass der Grenzwert der gesamten Folge dann ebenfalls 1 ist? :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:18 Fr 06.02.2015 | | Autor: | chrisno |
Nein. Immer wenn das n im Bruch um 1 größer wird, wird gleichzeitig auch das n im Exponenten 1 größer. Da kannst Du das erst einmal nicht von einander getrennt betrachten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 Fr 06.02.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo strawberryjaim!
Wir wissen:
[mm] \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n=e^z [/mm] für alle [mm] z\in\IC.
[/mm]
1. Möglichkeit:
[mm] \left(\frac{n+1}{n}\right)^{-2n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-2n}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n}}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}.
[/mm]
Wie geht wohl weiter?
2. Möglichkeit: Substituiere $z:=-2n$.
Gruß
DieAcht
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Wenn ich dann n gegen unendlich laufen lasse, hätte ich als Ergebnis [mm] \bruch{1}{1 * 1} [/mm] = 1 als Grenzwert :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:19 Sa 07.02.2015 | | Autor: | abakus |
> Wenn ich dann n gegen unendlich laufen lasse, hätte ich
> als Ergebnis [mm]\bruch{1}{1 * 1}[/mm] = 1 als Grenzwert :)
Ignorierst du den Beitrag von DieAcht völlig?
(Nur sein letzter Umformungsschritt ist falsch, weil ihm zwei Exponenten "n" abhanden gekommen sind.)
In deinem Grenzwert muss u.a. ein "e" vorkommen.
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Nein, natürlich nicht, sonst hätte ich die Umformung ja nicht gehabt..
Also wäre richtig: [mm] \bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})(1+\bruch{1}{n})^{n}}? [/mm] Wenn ja, wäre der Grenzwert dann [mm] \bruch{1}{e^{1}*e^{1}}?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:30 Sa 07.02.2015 | | Autor: | abakus |
> Nein, natürlich nicht, sonst hätte ich die Umformung ja
> nicht gehabt..
>
> Also wäre richtig:
> [mm]\bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})(1+\bruch{1}{n})^{n}}?[/mm] Wenn ja,
> wäre der Grenzwert dann [mm]\bruch{1}{e^{1}*e^{1}}?[/mm]
Der Grenzwert ist richtig, vorher fehlte dir aber ein n: [mm]\bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})^\red{n}(1+\bruch{1}{n})^{n}}[/mm]
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