Grenzwertberechnung nach l'hospital < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Do 15.07.2004 | | Autor: | birte |
Hier noch eine Frage zum richtigen Ableiten:
Berechne den folgenden Grenzwert:
[mm] \lim_{n \to \0}{x^4\br\cos(x^2)-1}
[/mm]
habe also die Regel von lHospital angewendet und dann stockengeblieben, ich schreib mal auf, wie weit ich es geschafft habe (hoffentlich ohne Fehler):
[mm] lim_{n \to \0}{4x^3\br 2x\sin(x^2)}
[/mm]
[mm] =lim_{n \to \0} {12x^2\br 2\sin(x^2)-4x^2\cos(x^2)}
[/mm]
[mm] =lim_{n \to \0} {-6x^2\br\sin(x^2)+2x^2cos(x^2)}
[/mm]
[mm] =lim_{n \to \0} {-12x\br 6x\cos(x^2)-4x^3\sin(x^2)}
[/mm]
na ja und jetzt hab ichs schon mehrmals versucht, komme aber immer auf andere Lösungen....vielleicht kann mir einer weiterhelfen, oder wenigstens überprüfen, ob ich bis hierhin keine Fehler gemacht habe....dann muss ich ja nur noch einmal ableiten...und dann hab ich endlich den Grenzwert.
Danke schon mal demjenigen, der sich dieser Aufgabe widmet!
Gruß birte
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 Do 15.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo birte
> Hier noch eine Frage zum richtigen Ableiten:
> Berechne den folgenden Grenzwert:
> [mm]\lim_{n \to 0}{x^4\br\cos(x^2)-1}
[/mm]
Du meinst wohl, dass $x$ gegen $0$ strebt, nicht $n$? 
> habe also die Regel
> von lHospital angewendet und dann stockengeblieben, ich
> schreib mal auf, wie weit ich es geschafft habe
> (hoffentlich ohne Fehler):
> [mm]lim_{n \to 0}{4x^3\br 2x\sin(x^2)}
[/mm]
Da ist doch schon der 1. Fehler: die Ableitung von Sinus ist +Cosinus, jene von Cosinus ist -Sinus.
Huch, nein, du hast das ja richtig gemacht, nur die Formel hast du nicht richtig eingegeben. Also, ich rechne einfach mal weiter unten, wie ich es machen würde.
[mm] $\lim_{x \to 0} \bruch{x^4}{\cos(x^2)-1}$
[/mm]
[mm] $\lim_{x \to 0} \bruch{4x^3}{-2x\sin(x^2)}$
[/mm]
Weil $x$ ja (noch) nicht $0$ ist, darf ich hier schon mit $x$ kürzen. Ich kürze also gleich mit $-2x$:
[mm] $\lim_{x \to 0} \bruch{-2x^2}{\sin(x^2)}$
[/mm]
Und jetzt wieder De l'Hospital:
[mm] $\lim_{x \to 0} \bruch{-4x}{2x\cos(x^2)}$
[/mm]
Wieder mit $2x$ gekürzt:
[mm] $\lim_{x \to 0} \bruch{-2}{\cos(x^2)}$
[/mm]
..und jetzt kann der Grenzübertritt gemacht werden:
[mm] $\lim_{x \to 0} \bruch{-2}{\cos(x^2)} [/mm] = -2$ 
Dieses Ergebnis sieht man übrigens bereits dem Ausdruck
[mm] $\lim_{x \to 0} \bruch{-2x^2}{\sin(x^2)}$ [/mm] an, weil ja gilt:
[mm] $\sin(\alpha) \to \alpha; (\alpha \to [/mm] 0)$
Also auch: [mm] $\sin(x^2) \to x^2; [/mm] (x [mm] \to [/mm] 0)$
Mit lieben Grüssen
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