Grenzwert zeigen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:46 Mo 08.12.2014 | | Autor: | mariem |
Hallo,
in einen Raum mit Mass 1 ist [mm] ||f||_p [/mm] eine steigende Funktion von p. Um zu zeigen dass [mm] \lim_{p \rightarrow \infty} ||f||_p=||f||_{\infty} [/mm] muss man zeigen dass das [mm] ||f||_{\infty} [/mm] das Supremum ist, oder nicht?
Um das zu zeigen, behaupten wir das das [mm] ||f||_{\infty}-\epsilon [/mm] das Supremum ist.
Vom wesentliche Supremum hat man [mm] m(\{|f|>||f||_{\infty}-\epsilon\})=0.
[/mm]
Also, müssen wir zeigen dass [mm] m(\{|f|>||f||_{\infty}-\epsilon\})>0. [/mm]
Sei [mm] A=\{|f|>||f||_{\infty}-\epsilon\}. [/mm]
Wir haben dass [mm] \int_A |f|^p \leq \int |f|^p \leq ||f||_{\infty}^p. [/mm]
[mm] \int_A |f|^p >\int_A (||f||_{\infty}-\epsilon)^p=(||f||_{\infty}-\epsilon)^p [/mm] m(A)
Also, [mm] m(A)^{1/p} (||f||_{\infty}-\epsilon)<||f||_p \leq ||f||_{\infty}
[/mm]
Wie kann ich weiter machen, um zu zeigen dass m(A)>0 ?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:30 Di 09.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> in einen Raum mit Mass 1 ist [mm]||f||_p[/mm] eine steigende
> Funktion von p. Um zu zeigen dass [mm]\lim_{p \rightarrow \infty} ||f||_p=||f||_{\infty}[/mm]
> muss man zeigen dass das [mm]||f||_{\infty}[/mm] das Supremum ist,
> oder nicht?
>
>
> Um das zu zeigen, behaupten wir das das
> [mm]||f||_{\infty}-\epsilon[/mm] das Supremum ist.
>
> Vom wesentliche Supremum hat man
> [mm]m(\{|f|>||f||_{\infty}-\epsilon\})=0.[/mm]
>
> Also, müssen wir zeigen dass
> [mm]m(\{|f|>||f||_{\infty}-\epsilon\})>0.[/mm]
>
> Sei [mm]A=\{|f|>||f||_{\infty}-\epsilon\}.[/mm]
>
> Wir haben dass [mm]\int_A |f|^p \leq \int |f|^p \leq ||f||_{\infty}^p.[/mm]
>
> [mm]\int_A |f|^p >\int_A (||f||_{\infty}-\epsilon)^p=(||f||_{\infty}-\epsilon)^p[/mm]
> m(A)
>
> Also, [mm]m(A)^{1/p} (||f||_{\infty}-\epsilon)<||f||_p \leq ||f||_{\infty}[/mm]
>
> Wie kann ich weiter machen, um zu zeigen dass m(A)>0 ?
Es ist f [mm] \in L^{\infty}. [/mm] Du kannst [mm] ||f||_{\infty}>0 [/mm] annehmen. Wie ist [mm] ||f||_{\infty} [/mm] definiert ?
FRED
|
|
|
|
