Grenzwert x hoch x gehen +0 < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
es soll der folgende Limes bestimmt werden mit der L'Hospitalschen Regel:
[mm] \limes_{x\rightarrow+0}x^{x}
[/mm]
Hab schon versucht das Ganze irgendwie in einen Unbestimmten Ausdruck umzuformen, so dass man L'Hospital anwenden kann, aber es ist mir leider nicht gelungen.
Wäre für jeden Ansatz dankbar.
mfg
Berndte
|
|
| |
|
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Benutze, dass $x^x=e^{\ln\left(x^x\left)}=e^{x\ln x}$ gilt...
Kommst du jetzt durch?
Gruß, banachella
|
|
|
| |
|
Das hab ich mir auch am Anfang so gedacht, nur bin ich irgendwie nicht auf eine Form [mm] \bruch{0}{0} [/mm] oder [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] gekommen :/ Denn irgenwas hoch 0 ist ja immer 1...
|
|
|
| |
|
Hallo!
Aber mit Hilfe von L'Hopital kannst du den Grenzwert von [mm] $x\ln [/mm] x$ bestimmen...
Gruß, banachella
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:01 Fr 03.06.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Berndte!
Ein kleiner Tipp: [mm] $x*\ln(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\ln(x)}{\bruch{1}{x}}$
[/mm]
Damit ergibt sich für $x \ [mm] \to [/mm] \ 0+$ der Ausdruck [mm] $\bruch{-\infty}{\infty}$ [/mm] und Du kannst mit  de l'Hospital arbeiten.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Also wenn man L'hospital auch auf [mm] \bruch{-\infty}{\infty} [/mm] anwenden kann, ist es mir jetzt klar.
[mm] \limes_{x\rightarrow+0}x^{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow+0}e^{x*ln(x)} [/mm] = [mm] e^{\limes_{x\rightarrow+0}x*ln(x)} [/mm] = [mm] e^{\limes_{x\rightarrow+0}\bruch{ln(x)}{\bruch{1}{x}}} [/mm] = [mm] e^{\limes_{x\rightarrow+0}-x} [/mm] = [mm] e^{0} [/mm] = 1
Danke
mfg
Berndte
|
|
|
| |
|
Hallo Berndte2002,
Man muß hier mit Grenzwertumkehr arbeiten:
[m]\begin{gathered}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x^x = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{1}
{x}} \right)^{\frac{1}
{x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}
{{\sqrt[x]{x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}
{{e^{\frac{1}
{x}\ln x} }} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\ln x}}
{x}\mathop = \limits^{{\text{l'Hospital}}} \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{1}
{x}}}
{1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}
{x} = 0 \hfill \\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}
{{e^{\frac{1}
{x}\ln x} }} = 1 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x^x = 1 \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Viele Grüße
Karl
|
|
|
|
