Grenzwert von Wurzel(a) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie: Ist [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] mit [mm] a_{n} \in \IR, a_{n} \ge [/mm] 0 , eine konvergente Folge mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} = a [/mm], dann gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{a_{n}} [/mm] = [mm] \wurzel{a} [/mm] |
Hallo,
da wir die "Wurzel" in der Vorlesung noch nicht behandelt haben bzw. wir noch nicht nachgewiesen haben, dass [mm] \wurzel{x} [/mm] stetig ist, dürfen wir nicht sagen: Wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} = a [/mm], dann ist [mm] \wurzel{\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} } [/mm] = [mm] \wurzel{a}.
[/mm]
Wir haben da aber 2 Sätze aufgeschrieben, die mir vielleicht helfen:
(I) Jede beschränkte Folge hat eine konvergente Teilfolge (Bolzano-Weierstrass) und
(II)Eine Folge in [mm] \IR [/mm] bzw [mm] \IC [/mm] hat einen Grenzwert genau dann, wenn Sie eine Cauchy-Folge ist.
[mm] a_{n} [/mm] hat GW [mm] \Rightarrow a_{n} [/mm] hat eine konvergente Teilfolge.
Kann ich aber jetzt sagen, dass [mm] \wurzel{a_{n}} [/mm] DIE teilfolge von [mm] a_{n} [/mm] ist, die konvergent ist? Es könnte ja auch eine andere Teilfolge sein...?
Falls das mit doch stimmt, könnt ich ja dann mit (II) nachweisen, dass auch [mm] \wurzel{a_{n}} [/mm] einen Grenzwert hat. Aber dass der dann [mm] \wurzel{a} [/mm] ist, wie mach ich das dann...?
Kann mir da jemand einen Tipp geben?
Ciao
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:26 Di 30.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
habt ihr GW Sätze, wie : wenn eine Folge [mm] a_n [/mm] gegen a und [mm] b_n [/mm] gegen b konv. dann konv. [mm] a_n*b_n [/mm] gegen a*b?
dann mach einen Widerspruchsbeweis ang [mm] \wurzel{a_n}konv [/mm] gegen [mm] b\ne \wurzel{a_n}
[/mm]
beser noch benutz die Def von Konvergenz.
Bekannt [mm] |a_n-a|<\epsilon_1 [/mm] für [mm] n>N_0
[/mm]
dann versuch ein n zu finden, damit [mm] |\wurzel{a_n}-\wurzel{a}|<\epsilon
[/mm]
dabei wähle [mm] \epsilon_1 [/mm] nnachträglich geschickt
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 Di 30.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathestudi!
Verwende - wie bereits von leduart vorgeschlagen - die Definition der Konvergenz und die Voraussetzung der Konvergenz von [mm]a_n[/mm] .
Beachte dann beim Umformen, dass gilt:
[mm]a_n-a \ = \ \left( \ \wurzel{a_n} \ \right)^2-\left( \ \wurzel{a_n} \ \right)^2 \ = \ \left( \ \wurzel{a_n}-\wurzel{a} \ \right)*\left( \ \wurzel{a_n}+\wurzel{a} \ \right)[/mm]
Gruß
Loddar
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