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Hallo
Sitze seit 2 Stunden bei einem sehr primitiven Beispiel und kann es nicht lösen.
und zwar
Untersuchen sie die Partialsummen folgender Reihen (Konvergenz, Grenzwert)
[mm] \bruch{1}{1*2}+ \bruch{1}{2*3}+ \bruch{1}{3*4}..... [/mm] dabei steht noch ein Hinweis [mm] \bruch{1}{n*(n+1)}= \bruch{1}{n}- \bruch{1}{n+1}
[/mm]
Da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] von [mm] \bruch{1}{n*(n+1)} [/mm] gegen Null geht könnte die Reihe konvergent sein da ein Quotientenkiterium nix bringt müßte man das anders lösen . Mein Verdacht wäre die Reihe irgendwie umzuordnen das hab ich auch schon probiert aber ich kann da nichts zusammenfassen. Mein zweites Problem ist die Grenzwertbestimmung dazu brauch ich aber wieder die umgeordnete Reihe. Wie geh ich das am besten an???
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Hallo!
> und zwar
> Untersuchen sie die Partialsummen folgender Reihen
> (Konvergenz, Grenzwert)
> [mm]\bruch{1}{1*2}+ \bruch{1}{2*3}+ \bruch{1}{3*4}.....[/mm] dabei
> steht noch ein Hinweis [mm]\bruch{1}{n*(n+1)}= \bruch{1}{n}- \bruch{1}{n+1}[/mm]
>
> Da [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] von [mm]\bruch{1}{n*(n+1)}[/mm]
> gegen Null geht könnte die Reihe konvergent sein da ein
> Quotientenkiterium nix bringt müßte man das anders lösen .
> Mein Verdacht wäre die Reihe irgendwie umzuordnen das hab
> ich auch schon probiert aber ich kann da nichts
> zusammenfassen. Mein zweites Problem ist die
> Grenzwertbestimmung dazu brauch ich aber wieder die
> umgeordnete Reihe. Wie geh ich das am besten an???
Ich weiß nicht, ob es dir hilft, aber ich habe gerade folgendes festgestellt: der erste Summand ist [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (welch Wunder, das hast du wohl auch schon gesehen...  ), wenn du den zweiten und dritten Summand addierst, erhältst du [mm] \bruch{1}{4}, [/mm] die nächsten 4 Summanden (also von [mm] \bruch{1}{2} [/mm] bis [mm] \bruch{1}{56}) [/mm] ergeben zusammen [mm] \bruch{1}{8}, [/mm] und die nächsten 8 Summanden ergeben zusammen [mm] \bruch{1}{16}. [/mm] So weit habe ich es gerade ausprobiert, aber es geht wohl immer so weiter.
Vielleicht hilft dir das? Man könnte die Reihe dann vielleicht anders schreiben und so die Konvergenz/Divergenz feststellen!?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo stevarino,
wenn du den hinweis aufgreifst (aufteilung in partialbrüche) steht die lösung ja eigentlich fast schon da....
mal im ernst: schreibe dir doch mal die partialsummen unter berücksichtigung des hinweises auf, dann solltest du die lösung eigentlich erkennen.
Viele Grüße
Matthias
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Okay dann komm ich auf folgendes
wenn ich das richtig verstanden hab kann ich die Reihe auch so anschreiben
[mm] =\summe_{i=1}^{ \infty}\bruch{1}{2^{i}} [/mm] dann kann ich das Qutientenkrit. anwenden und es kommt 1/2 raus was bedeutet das die Reihe konvergent ist wie funktioniert jetzt das mit dem Endwert der Reihe
Ich hab in einem Buch schon was gefunden mir ist nur der Weg hin etwas undurchsichtig.
Die Reihe ist eine geometrische mit Summe 1/(1-1/2) dann ist der Endwert 2 aber das kann nicht stimmen denn laut Ti92 soll 1 rauskommen
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Hallo stevarino!
Nutze doch mal -wie von MatthiasKr bereits angedeutet- mal den Lösungshinweis aus:
[mm] $\bruch{1}{1*2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2*3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3*4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4*5} [/mm] + ... \ = \ [mm] \left(\bruch{1}{1}- \bruch{1}{2}\right) [/mm] + [mm] \left(\bruch{1}{2}-\bruch{1}{3}\right) [/mm] + [mm] \left(\bruch{1}{3}- \bruch{1}{4}\right) [/mm] + [mm] \left(\bruch{1}{4}-\bruch{1}{5}\right) [/mm] + ... \ = \ [mm] \bruch{1}{1} \underbrace{- \bruch{1}{2} + \bruch{1}{2}}_{= \ 0} [/mm] \ [mm] \underbrace{- \bruch{1}{3} + \bruch{1}{3}}_{= \ 0} [/mm] \ [mm] \underbrace{- \bruch{1}{4} + \bruch{1}{4}}_{= \ 0} [/mm] - [mm] \bruch{1}{5} [/mm] + ...$
Na, jetzt solltet Du Dein Ti92-Ergebnis doch auch erkennen, oder?
Gruß vom
Roadrunner
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Aber das müßte doch auch so funktionieren wie ich geschrieben hab oder nicht? Ich muss nur zeigen das die geometrische Reihe die Summe 1 hat
Ich weiß schon das dein Weg der schnellere ist aber man muß ja nicht immer den schnellsten Weg nehmen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 Mo 29.08.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo stevarino!
Dein Ansatz führt so zum Ziel:
[mm] $\sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^i} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \sum\limits_{i=0}^{\infty} \frac{1}{2^i} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{2}} =\frac{1}{2} \cdot [/mm] 2 = 1$.
Allerdings müsstest du auch noch nachweisen (das hatte Bastiane (Christiane) ja nur festgestellt, aber nicht bewiesen), dass deine Reihe auch wirklich diese geometrische Reihe ist...
Viele Grüße
Julius
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