Grenzwert von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 So 20.12.2009 | | Autor: | wee |
| Aufgabe | Untersuche folgende Reihen auf Divergenz bzw. Konvergenz:
a) [mm] \summe_{n=5}^\infty \bruch{1}{\wurzel[3]{n^3+1}}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=2}^\infty \bruch{1}{n\wurzel[n]{n}}
[/mm]
c) [mm] \summe_{n=6}^\infty \bruch{1}{n(n-1)}
[/mm]
d) [mm] \summe_{n=1}^\infty \bruch{n^n}{n!3^n}
[/mm]
e) [mm] \summe_{n=1}^\infty (\bruch{n}{n+1})^{n^2} [/mm] |
Hi,
bei dieser Aufgabe habe ich c), d) und e) bereits gezeigt. Alle drei Reihen konvergieren.
Bei a) und b) weiß ich nicht wirklich anzusetzten. Q-Krit. oder Wurzel-Krit. werden hier wohl nicht helfen, also wird man wohl das Minoranten-Krit. bzw. das Majoranten-Krit. benutzen.
Jetzt weiß ich aber die Brüche nicht so abzuschätzen, dass man z.B. [mm] \bruch{1}{\wurzel[3]{n^3+1}} \geq \bruch{1}{n}, [/mm] woraus die Divergenz in a) folgen würde. Ob da wohl entscheident ist, dass die Reihe bei a) bei n=5 und bei b) bei n=2 beginnt?
Für jede Hilfe bin ich dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:16 So 20.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo wee!
Bedenke, dass gilt:
$$1 \ < \ [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] \ < \ 2$$
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 So 20.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo wee!
Nein, für die Konvergenz ist nicht entscheidend, mit welchem Wert die Reihe startet.
Für Teilaufgabe a.) kannst Du wie folgt abschätzen:
[mm] $$\bruch{1}{\wurzel[3]{n^3+\blue{1}}} [/mm] \ > \ [mm] \bruch{1}{\wurzel[3]{n^3+\blue{n^3}}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel[3]{2*n^3}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel[3]{2}}*\bruch{1}{\wurzel[3]{n^3}} [/mm] = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:27 So 20.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo wee!
Überprüfe hier das notwendige Kriterium für Reihenkonvergenz.
Ist [mm] $\left(\bruch{n}{n+1}\right)^{n^2}$ [/mm] eine Nullfolge?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:51 So 20.12.2009 | | Autor: | wee |
e) konvergiert nach dem Wurzelkrit., weil lim [mm] \wurzel[n]{|(\bruch{n}{n+1})^{n^2}|}=(\bruch{1}{e})<1.
[/mm]
a) und b) sind nach deiner Abschätzung klar divergent.
besten Dank!
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