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| Aufgabe | Gegeben ist die Reihe:
[mm] \summe_{i=1}^{n}0,2^{n-1} [/mm] gebe den Grenzwert an. |
Hallo ich weiß nicht so recht wie ich diese Aufgabe angehen soll. Also ich habe mal folgendes gemacht:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}0,2^{n-1}= [/mm] 0
nun steht als Lösung aber :
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}0,2^{n-1}= [/mm] 1,25
was habe ich falsch gemacht oder geht man die Aufgabe anders an .
Ich will nur ein Tipp keine komplette Lösung.
DAnke im Vorraus
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> Gegeben ist die Reihe:
> [mm]\summe_{i=1}^{n}0,2^{n-1}[/mm] gebe den Grenzwert an.
> Hallo ich weiß nicht so recht wie ich diese Aufgabe
> angehen soll. Also ich habe mal folgendes gemacht:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}0,2^{n-1}=[/mm] 0
>
> nun steht als Lösung aber :
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}0,2^{n-1}=[/mm] 1,25
>
> was habe ich falsch gemacht oder geht man die Aufgabe
> anders an .
es handelt sich hier um eine geometrische reihe, dessen grenzwert dieser ist:
[mm] \sum_{k=0}^{\infty} q^k [/mm] = [mm] \frac{1}{1-q}
[/mm]
> Ich will nur ein Tipp keine komplette Lösung.
nun beachte aber, dass der index hier bei k=0 anfängt, und der von deiner reihe erst bei 1 (substitution ist hier ne gute wahl)
> DAnke im Vorraus
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HI verstehe ich jetzt nicht meinst du so :
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}0,2^{n-1} [/mm] wird zu
[mm] \sum_{k=1}^{\infty} q^k [/mm] = [mm] \frac{1}{1-2^{n-1}} [/mm]
Ich weiß nicht wie du da substituieren willst.
Danke für dein schnelles antworten.
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Hallo AMD 
Stelle bitte Fragen als Fragen und nicht als Mitteilungen!
> HI verstehe ich jetzt nicht meinst du so :
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> [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}0,2^{\red{n}-1}$ [/mm]
Das muss doch [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^{n}0,2^{\red{i}-1}$ [/mm] lauten ...
> wird zu
>
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty} q^k[/mm] = [mm]\frac{1}{1-2^{n-1}}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Für $|q|<1$ ist [mm] $\sum\limits_{i=0}^{\infty}q^{i}=\frac{1}{1-q}$
[/mm]
Das solltest du unbedingt verinnerlichen, die geometrischen Reihen sind ziemlich wichtig in der Analysis
Hier mit $q=0,2$ oder [mm] $\frac{1}{5}$
[/mm]
>
> Ich weiß nicht wie du da substituieren willst.
Übleicherweise macht man eine Indexverschiebung, um auf die Standardform zu kommen:
Deine Reihe startet zwar bei $i=1$, also eins höher als bei der geometrischen Reihe "standardmäßig", dafür ist zum Ausgleich aber der Exponent beim "q" um eins niedriger.
Du hast also die Reihe [mm] $\sum\limits_{i=1}^{\infty}0,2^{i-1}$
[/mm]
Nun die erwähnte Indexverschiebung, erniedrige den Index am Summenzeichen um 1 und gleiche es aus, indem du das i in der Summe um 1 erhöhst, also
[mm] $\sum\limits_{i=1}^{\infty}0,2^{i-1}=\sum\limits_{i=0}^{\infty}0,2^{i}$
[/mm]
Und das ist ne lupenreine geometrische Reihe.
Alternativ fencheltees Idee:
Setze $k:=i-1$
Damit ist [mm] $\sum\limits_{i=1}^{\infty}0,2^{i-1}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}0,2^{k}$
[/mm]
Also wieder eine lupenreine geometrische Reihe mit $q:=0,2<1$
Die hat bekanntermaßen den Wert [mm] $\frac{1}{1-0,2}=\frac{5}{4}=1,25$
[/mm]
Also alles, wie es sein sollte
> Danke für dein schnelles antworten.
Gruß
schachuzipus
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