Grenzwert von Reihen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 Sa 07.01.2006 | | Autor: | Riker |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} (-1)^{n} \bruch{n+6}{n(n+1)} [/mm] konvergiert.
Sei s der Grenzwert der Reihe und [mm] s_{k} [/mm] die Partialsumme
[mm] s_{k} [/mm] := [mm] \summe_{n=1}^{k} (-1)^{n} \bruch{n+6}{n(n+1)}
[/mm]
Geben Sie eine natürliche Zahl k an, sodass der Abbruchfehler [mm] |s_{k} [/mm] - s| kleiner als 0,01 wird. |
Hallo,
Ich habe bereits mit Leibnitz gezeigt, dass die Reihe konvergiert. Allerdings habe ich keinen blanken Schimmer, wie man den Grenzwert einer Reihe eigentlich quantitativ bestimmt. Meine Idee ist, dass man den sicherlich für den zweiten Teil der Aufgabe braucht, aber vielleicht denke ich mich da auch fest.
Kann mir jemand einen Rat zu der Aufgabe und - falls es doch der falsche Ansatz sein sollte - einen Tipp zur Grenzwertbestimmung von Reihen geben?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 Sa 07.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Zeigen Sie, dass die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{ \infty} (-1)^{n} \bruch{n+6}{n(n+1)}[/mm]
> konvergiert.
> Sei s der Grenzwert der Reihe und [mm]s_{k}[/mm] die Partialsumme
> [mm]s_{k}[/mm] := [mm]\summe_{n=1}^{k} (-1)^{n} \bruch{n+6}{n(n+1)}[/mm]
>
> Geben Sie eine natürliche Zahl k an, sodass der
> Abbruchfehler [mm]|s_{k}[/mm] - s| kleiner als 0,01 wird.
> Hallo,
>
> Ich habe bereits mit Leibnitz gezeigt, dass die Reihe
> konvergiert. Allerdings habe ich keinen blanken Schimmer,
> wie man den Grenzwert einer Reihe eigentlich quantitativ
> bestimmt.
Das ist auch meistens alles andere als einfach, wenn ueberhaupt irgendwie moeglich.
> Meine Idee ist, dass man den sicherlich für den
> zweiten Teil der Aufgabe braucht, aber vielleicht denke ich
> mich da auch fest.
Nein, du brauchst ihn nicht.
Du kannst zeigen, dass [mm] $a_n [/mm] := [mm] \bruch{n+6}{n(n+1)}$ [/mm] ab einem [mm] $n_0$ [/mm] streng monoton fallend ist. Betrachte nun die Folge [mm] $s_k [/mm] := [mm] \sum_{n=1}^k (-1)^n a_n$, [/mm] diese konvergiert ja gegen $s$. Jetzt schau dir jeweils [mm] $s_{k+2}$ [/mm] in Relation zu [mm] $s_k$ [/mm] und [mm] $s_{k+1}$ [/mm] an fuer $k [mm] \ge n_0$. [/mm] Faellt dir was auf? Damit (und zusammen mit einem Wert fuer [mm] $n_0$) [/mm] wirst du schnell ein gesuchtes $k$ angeben koennen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Sa 07.01.2006 | | Autor: | Riker |
Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort. Leider bin ich im Thema kaum drin. Versuche gerade, mich einzuarbeiten. Deshalb noch einige Nachfragen:
> Du kannst zeigen, dass [mm]a_n := \bruch{n+6}{n(n+1)}[/mm] ab einem [mm]n_0[/mm] streng monoton fallend ist.
Ist das nicht für alle möglichen n streng monoton fallend? Ist [mm] n_{0} [/mm] dann 1?
> Betrachte nun die Folge [mm]s_k := \sum_{n=1}^k (-1)^n a_n[/mm],
> diese konvergiert ja gegen [mm]s[/mm]. Jetzt schau dir jeweils
> [mm]s_{k+2}[/mm] in Relation zu [mm]s_k[/mm] und [mm]s_{k+1}[/mm] an fuer [mm]k \ge n_0[/mm].
Ist das ein Wink in Richtung vollständige Induktion? Ich sehe gerade nicht, [mm]wie[/mm] ich mir das überhaupt angucken soll. Wenn ich nur die obere Grenze verändere, dann hilft mir das doch nicht für die Summe, außer dass ich weiß, dass sich das Vorzeichen ständig ändert...?
Tut mir Leid, bin da noch zimlich hilflos...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Sa 07.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort. Leider bin
> ich im Thema kaum drin. Versuche gerade, mich
> einzuarbeiten. Deshalb noch einige Nachfragen:
>
> > Du kannst zeigen, dass [mm]a_n := \bruch{n+6}{n(n+1)}[/mm] ab einem
> [mm]n_0[/mm] streng monoton fallend ist.
>
> Ist das nicht für alle möglichen n streng monoton fallend?
> Ist [mm]n_{0}[/mm] dann 1?
Aeh, ja, kann gut sein  Hatte das nicht nachgerechnet...
> > Betrachte nun die Folge [mm]s_k := \sum_{n=1}^k (-1)^n a_n[/mm],
> > diese konvergiert ja gegen [mm]s[/mm]. Jetzt schau dir jeweils
> > [mm]s_{k+2}[/mm] in Relation zu [mm]s_k[/mm] und [mm]s_{k+1}[/mm] an fuer [mm]k \ge n_0[/mm].
>
> Ist das ein Wink in Richtung vollständige Induktion? Ich
Nein :)
> sehe gerade nicht, [mm]wie[/mm] ich mir das überhaupt angucken soll.
> Wenn ich nur die obere Grenze verändere, dann hilft mir das
> doch nicht für die Summe, außer dass ich weiß, dass sich
> das Vorzeichen ständig ändert...?
Also es ist [mm] $s_1 [/mm] = [mm] a_1$, $s_2 [/mm] = [mm] a_1 [/mm] - [mm] a_2$, $s_3 [/mm] = [mm] a_1 [/mm] - [mm] a_2 [/mm] + [mm] a_3$: [/mm] also ist [mm] $s_1 [/mm] < [mm] s_3 [/mm] < [mm] s_2$! [/mm] So, [mm] $s_4 [/mm] = [mm] s_3 [/mm] - [mm] a_4$, [/mm] also [mm] $s_3 [/mm] < [mm] s_4 [/mm] < [mm] s_2$. [/mm] (Immer weil die [mm] $a_i$ [/mm] streng monoton fallen.) Wenn du das jetzt so weiter aufmalst wirst du sehen, dass die Folge [mm] $s_n$ [/mm] fuer $n > k$ immer zwischen [mm] $s_n$ [/mm] und [mm] $s_{n+1}$ [/mm] bleibt.
Kommst du jetzt weiter?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 So 08.01.2006 | | Autor: | Riker |
> Also es ist [mm]s_1 = a_1[/mm], [mm]s_2 = a_1 - a_2[/mm], [mm]s_3 = a_1 - a_2 + a_3[/mm]:
> also ist [mm]s_1 < s_3 < s_2[/mm]! So, [mm]s_4 = s_3 - a_4[/mm], also [mm]s_3 < s_4 < s_2[/mm].
> (Immer weil die [mm]a_i[/mm] streng monoton fallen.)
Das habe ich soweit nachvollziehen können. Allerdings sind bei mir die Vorzeichen genau vertauscht. [mm] \to[/mm] [mm](-1)^{1}=(-1)[/mm]
> Wenn du das
> jetzt so weiter aufmalst wirst du sehen, dass die Folge [mm]s_n[/mm]
> fuer [mm]n > k[/mm] immer zwischen [mm]s_n[/mm] und [mm]s_{n+1}[/mm] bleibt.
>
> Kommst du jetzt weiter?
Leider noch nicht. Mir geht es leider wirklich so, dass ich in meinen Büchern absolut nichts zu der Vorgehensweise gefunden habe und mich absolut auf Neuland bewege. :(
Warum zum Beispiel soll [mm]n > k[/mm] sein? Kann es doch gar nicht, wenn die Summenformel durch [mm]k[/mm] beschränkt ist?
Also, ich sehe, dass die neuen Elemente im betrachteten Fall immer zwischen [mm]s_1[/mm] und [mm]s_2[/mm] dazu kommen. Aber was sagt mir das über mein [mm]k[/mm] aus und woher weiß ich, wann es kleiner als [mm]0,01[/mm] wird?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 So 08.01.2006 | | Autor: | felixf |
> > Also es ist [mm]s_1 = a_1[/mm], [mm]s_2 = a_1 - a_2[/mm], [mm]s_3 = a_1 - a_2 + a_3[/mm]:
> > also ist [mm]s_1 < s_3 < s_2[/mm]! So, [mm]s_4 = s_3 - a_4[/mm], also [mm]s_3 < s_4 < s_2[/mm].
> > (Immer weil die [mm]a_i[/mm] streng monoton fallen.)
>
> Das habe ich soweit nachvollziehen können. Allerdings sind
> bei mir die Vorzeichen genau vertauscht. [mm]\to[/mm]
> [mm](-1)^{1}=(-1)[/mm]
Sorry hatte mich vertan.
> > Wenn du das
> > jetzt so weiter aufmalst wirst du sehen, dass die Folge [mm]s_n[/mm]
> > fuer [mm]n > k[/mm] immer zwischen [mm]s_n[/mm] und [mm]s_{n+1}[/mm] bleibt.
> >
> > Kommst du jetzt weiter?
>
> Leider noch nicht. Mir geht es leider wirklich so, dass ich
> in meinen Büchern absolut nichts zu der Vorgehensweise
> gefunden habe und mich absolut auf Neuland bewege. :(
Nun, schau dir doch mal den Beweis des Leibnizkriteriums an. Wie zeigt man dort, dass die Teilsummenfolge konvergiert? Indem man die Folgenglieder einschachtelt! Zeichne dir das mal auf und auch, wo der Grenzwert liegen muss.
> Warum zum Beispiel soll [mm]n > k[/mm] sein? Kann es doch gar nicht,
> wenn die Summenformel durch [mm]k[/mm] beschränkt ist?
Aeh ich meinte ``dass die Folge [mm] $s_n$ [/mm] fuer $n > k$ immer zwischen [mm] $s_k$ [/mm] und [mm] $s_{k+1}$ [/mm] bleibt''.
> Also, ich sehe, dass die neuen Elemente im betrachteten
> Fall immer zwischen [mm]s_1[/mm] und [mm]s_2[/mm] dazu kommen.
Und damit weisst du, dass der Abstand von [mm] $s_n$ [/mm] zum Grenzwert kleiner als [mm] $|s_2 [/mm] - [mm] s_1|$ [/mm] ist.
Kommst du jetzt weiter?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 So 08.01.2006 | | Autor: | Riker |
> Nun, schau dir doch mal den Beweis des Leibnizkriteriums
> an. Wie zeigt man dort, dass die Teilsummenfolge
> konvergiert? Indem man die Folgenglieder einschachtelt!
> Zeichne dir das mal auf und auch, wo der Grenzwert liegen
> muss.
Hm. Ich habe in dem "Gelben Rechenbuch" - so ein Anleitungsbuch - einfach gefunden, dass für das Leibnitz-Kriterium drei Bedingungen erfüllt sein müssen:
"(i) [mm] a_{n} [/mm] ist eine alternierende Folge
(ii) [mm] |a_{n}| \to [/mm] 0
(iii) [mm] |a_{n}| [/mm] ist monoton fallend
Dann konvergiert [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}a_n[/mm] (...)"
Mehr habe ich noch gar nicht gemacht, deswegen wohl das Verständnisproblem... Sorry.
Der Grenzwert liegt also in der Mitte zwischen [mm]s_1[/mm] und [mm]s_2[/mm]? - Aber ist das nicht der Grenzwert der Folge, also 0?
> Aeh ich meinte ''dass die Folge [mm]s_n[/mm] fuer [mm]n > k[/mm] immer
> zwischen [mm]s_k[/mm] und [mm]s_{k+1}[/mm] bleibt''.
Also einfach im Sinne von "bei jedem folgenden [mm]s_k[/mm]"?
> > Also, ich sehe, dass die neuen Elemente im betrachteten
> > Fall immer zwischen [mm]s_1[/mm] und [mm]s_2[/mm] dazu kommen.
>
> Und damit weisst du, dass der Abstand von [mm]s_n[/mm] zum Grenzwert
> kleiner als [mm]|s_2 - s_1|[/mm] ist.
Heißt das im Klartext, ich muss jetzt weitere Paare ermitteln, bis der Abstand den gewünschten Wert hat? Da kann ich doch im allgemeinen auch ewig brauchen, oder nicht?
> Kommst du jetzt weiter?
Ich fürchte, wieder nur ein bischen... :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 So 08.01.2006 | | Autor: | felixf |
> > Nun, schau dir doch mal den Beweis des Leibnizkriteriums
> > an. Wie zeigt man dort, dass die Teilsummenfolge
> > konvergiert? Indem man die Folgenglieder einschachtelt!
> > Zeichne dir das mal auf und auch, wo der Grenzwert liegen
> > muss.
>
> Hm. Ich habe in dem "Gelben Rechenbuch" - so ein
> Anleitungsbuch - einfach gefunden, dass für das
> Leibnitz-Kriterium drei Bedingungen erfüllt sein müssen:
> "(i) [mm]a_{n}[/mm] ist eine alternierende Folge
> (ii) [mm]|a_{n}| \to[/mm] 0
> (iii) [mm]|a_{n}|[/mm] ist monoton fallend
> Dann konvergiert [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}a_n[/mm] (...)"
>
> Mehr habe ich noch gar nicht gemacht, deswegen wohl das
> Verständnisproblem... Sorry.
Ja, wenn man den Beweis versteht dann ist die Aufgabe auch wesentlich klarer denk ich :)
> Der Grenzwert liegt also in der Mitte zwischen [mm]s_1[/mm] und
> [mm]s_2[/mm]? - Aber ist das nicht der Grenzwert der Folge, also 0?
Die [mm] $s_n$ [/mm] sind die $n$-ten Partialsummen, und der Grenzwert der Partialsummenfolgen liegt zwischen [mm] $s_1$ [/mm] und [mm] $s_2$. [/mm] Meinst du mit Folge jetzt die Koeffizientenfolge [mm] $a_n$ [/mm] oder meinst du die Partialsummenfolge [mm] $s_n$?
[/mm]
> > Aeh ich meinte ''dass die Folge [mm]s_n[/mm] fuer [mm]n > k[/mm] immer
> > zwischen [mm]s_k[/mm] und [mm]s_{k+1}[/mm] bleibt''.
> Also einfach im Sinne von "bei jedem folgenden [mm]s_k[/mm]"?
Ich versteh grad nicht was du meinst. Wenn du $k$ frei waehlst, und irgendein $n > k$, dann ist [mm] $s_n$ [/mm] immer zwischen [mm] $s_k$ [/mm] und [mm] $s_{k+1}$.
[/mm]
> > > Also, ich sehe, dass die neuen Elemente im betrachteten
> > > Fall immer zwischen [mm]s_1[/mm] und [mm]s_2[/mm] dazu kommen.
> >
> > Und damit weisst du, dass der Abstand von [mm]s_n[/mm] zum Grenzwert
> > kleiner als [mm]|s_2 - s_1|[/mm] ist.
> Heißt das im Klartext, ich muss jetzt weitere Paare
> ermitteln, bis der Abstand den gewünschten Wert hat? Da
> kann ich doch im allgemeinen auch ewig brauchen, oder
> nicht?
Nun, wenn dir klar wird dass [mm] $|s_n [/mm] - [mm] s_{n-1}| [/mm] = [mm] |a_n|$ [/mm] ist, dann nicht
Wie schon gesagt, wenn du nicht weiter kommst, nimm dir irgendeine monoton fallende Nullfolge [mm] $a_n$ [/mm] und zeichne mal die Teilsummenfolgen [mm] $\sum_{k=1}^n (-1)^k a_k$ [/mm] auf. (Also skizzier das irgendwie ) Hast du das schonmal gemacht?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 So 08.01.2006 | | Autor: | Riker |
Leider habe ich das alles noch nicht gemacht. Dies ist mein Einstieg in die Thematik der Reihen. Ich muss die Aufgabe morgen abgeben, insofern wird sie dann wohl unvollständig bleiben.
Aber sag mal, hast du gute Quellen (Internet, Bücher...) zur Hand, die einem das mal vernünftig erklären können? Ich hab einfach noch kein gutes Analysis-Buch und würde das gern verstehen...
Jedenfalls vielen herzlichen Dank für die viele Hilfe und die mühevolle Hinleitung. Jetzt hab ich immerhin schonmal Ideen von der Richtung, in die es gehen soll. :)
Viele liebe Grüße,
Riker
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:22 Mo 09.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Also, ich will es noch einmal zusammenfasssen:
Wegen
[mm] $|s_k [/mm] - s| [mm] \le |s_{n+1} [/mm] - [mm] s_n|$ [/mm] für alle $k [mm] \ge [/mm] n$
brauchst du nur ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] zu finden mit
[mm] $|s_{n+1} [/mm] - [mm] s_n| [/mm] < 0.01$.
Dann folgt automatisch, dass der Abbruchfehler kleiner als $0.01$ ist.
Rechne also mal [mm] $s_{n+1} [/mm] - [mm] s_n$ [/mm] aus... Wann ist das betraglich kleiner als $0.01$?
Zur Literatur: Du findest in wirklich allen Analysis I-Büchern und -Skripten hinreichend viel dazu. Schau dir mal die Analysis I-Skripten hier an...
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:28 Mo 09.01.2006 | | Autor: | Riker |
Huhu,
vielen Dank. Ich hatte heute Mittag die Abgabe und die Besprechung und habe das (hoffe ich) jetzt einigermaßen verstanden.
Vielen Dank für die Literaturlinks (der Link funktioniert zwar nicht, aber der Wink mit dem Zaunfahl hat trotzdem geholfen  )!
Manchmal sieht man ja den Wald vor lauter Bäumen nicht... ^^
Also, abschließend herzlichen Dank für die Mühe!
Viele Grüße,
Riker
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