Grenzwert von Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 So 26.04.2015 | | Autor: | Jonas123 |
| Aufgabe | Berechne den Grenzwert von
[mm] &\lim_{n\rightarrow \infty }{\sum_{k=1}^{ n }{\frac{k}{ {n}^{ 2 } } \cdot {e}^{ \frac { k }{ n } } } }& [/mm] |
Hallo zusammen,
ich möchte folgende Aufgabe verstehen, komme aber nicht wirklich weiter. Hier meine bisherigen Überlegungen/Ansätze:
Wenn ich die Reihe integriere bekomme ich mit Substitutionsregel [mm] &-{e}^{\frac { k }{ n }}&. [/mm] Die einzige Reihe von der ich den Grenzwert bestimmen kann ist die geometrische Reihe, die wir in der Vorlesung wie folgt definiert haben: [mm] &\sum_{k=0}^{\infty} a_0 q^k [/mm] = [mm] \frac{a_0}{1-q}&. [/mm] Ich vermute mal, dass ich in der Aufgabe irgendwie in diese umformen muss, nur weiß ich beim besten Willen nicht wie.
Wenn ich meine Geometrische Reihe dann ableite sollte ich meine ursprüngliche Reihe haben und kann gleichzeitig den Grenzwert bestimmen.
So meine Gedanken. Könnt ihr mir bitte sagen ob ich überhaupt auf der richtigen Spur bin und wenn ja wie man in die geometrische Reihe überführen kann.
Bin für jeden Tipp dankbar
Wie immer viele Grüße
Jonas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 So 26.04.2015 | | Autor: | abakus |
> Berechne den Grenzwert von
> [mm]&\lim_{n\rightarrow \infty }{\sum_{k=1}^{ n }{\frac{k}{ {n}^{ 2 } } \cdot {e}^{ \frac { k }{ n } } } }&[/mm]
>
> Hallo zusammen,
>
> ich möchte folgende Aufgabe verstehen, komme aber nicht
> wirklich weiter. Hier meine bisherigen
> Überlegungen/Ansätze:
>
> Wenn ich die Reihe integriere bekomme ich mit
> Substitutionsregel [mm]&-{e}^{\frac { k }{ n }}&.[/mm] Die einzige
> Reihe von der ich den Grenzwert bestimmen kann ist die
> geometrische Reihe, die wir in der Vorlesung wie folgt
> definiert haben: [mm]&\sum_{k=0}^{\infty} a_0 q^k[/mm] =
> [mm]\frac{a_0}{1-q}&.[/mm] Ich vermute mal, dass ich in der Aufgabe
> irgendwie in diese umformen muss, nur weiß ich beim besten
> Willen nicht wie.
>
> Wenn ich meine Geometrische Reihe dann ableite sollte ich
> meine ursprüngliche Reihe haben und kann gleichzeitig den
> Grenzwert bestimmen.
>
> So meine Gedanken. Könnt ihr mir bitte sagen ob ich
> überhaupt auf der richtigen Spur bin und wenn ja wie man
> in die geometrische Reihe überführen kann.
>
> Bin für jeden Tipp dankbar
>
> Wie immer viele Grüße
>
> Jonas
Hallo Jonas,
[mm]&-{e}^{\frac { k }{ n }}&[/mm] kannst du schreiben als [mm](-1)*({e}^{\frac { 1 }{ n }})^k[/mm].
Den konstanten Faktor -1 kannst du vor die Summe ziehen. Das [mm]{e}^{\frac { 1 }{ n }}[/mm] wäre dann dein q.
Achte aber darauf, dass vor der Anwendung der Formel der geometrischen Reihe noch eine Korrektur vorgenommen werden muss, weil k nicht bei 0, sondern bei 1 beginnt.
Gruß Abakus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:36 So 26.04.2015 | | Autor: | Jonas123 |
Hallo Abakus,
erstmal vielen Dank für deine Antwort.
Ich schreibe hier mal meine Rechenschritte auf:
[mm] $-1\cdot \sum [/mm] _{ k=1 [mm] }^{ n }{ \left( { e }^{ \frac { 1 }{ n } } \right) ^{ k } } [/mm] $
Nach der Indexverschiebung:
[mm] $-1\cdot \sum [/mm] _{ k=0 [mm] }^{ n }{ \left( { e }^{ \frac { 1 }{ n } } \right) ^{ k+1 } } [/mm] =-{ e [mm] }^{ \frac { 1 }{ n } }\cdot \sum [/mm] _{ k=0 [mm] }^{ n }{ \left( { e }^{ \frac { 1 }{ n } } \right) ^{ k } } [/mm] $
Jetzt habe ich mein [mm] $a_0=-{ e }^{ \frac { 1 }{ n } }$ [/mm] und $q={ e [mm] }^{ \frac { 1 }{ n } }$
[/mm]
An dieser Stelle bin ich mir jetzt doch nicht mehr sicher wie ich weitermachen soll. Muss ich jetzt zuerst den Grenzwert bilden und dann ableiten oder zuerst die Reihe ableiten und dann den Grenzwert bilden?
Der Grenzwert lautet: [mm] $\frac [/mm] { { e [mm] }^{ \frac { 1 }{ n } } [/mm] }{ { e [mm] }^{ \frac { 1 }{ n } }-1 [/mm] } $
Dies abgeleitet ergibt:
[mm] $\frac [/mm] { { e [mm] }^{ \frac { 1 }{ n } } [/mm] }{ [mm] \left( { e }^{ \frac { 1 }{ n } }-1 \right) \cdot [/mm] { n [mm] }^{ 2 } [/mm] } $
Und davon muss ich jetzt den Grenzwert bilden:
[mm] $\lim [/mm] _{ [mm] n\rightarrow \infty [/mm] }{ [mm] \frac [/mm] { { e [mm] }^{ \frac { 1 }{ n } } [/mm] }{ [mm] \left( { e }^{ \frac { 1 }{ n } }-1 \right) \cdot [/mm] { n [mm] }^{ 2 } [/mm] } } [mm] =\lim [/mm] _{ [mm] n\rightarrow \infty [/mm] }{ [mm] \frac [/mm] { { 1 } }{ [mm] \left( { 1-1 } \right) \cdot [/mm] { n [mm] }^{ 2 } [/mm] } } [mm] \lim [/mm] _{ [mm] n\rightarrow \infty [/mm] }{ [mm] \frac [/mm] { { 1 } }{ [mm] 0\cdot [/mm] { n [mm] }^{ 2 } [/mm] } } [mm] =\frac [/mm] { 1 }{ [mm] \infty [/mm] } =0$
Ich habe jedoch das ganze mal mit Wolfram Alpha überprüft, jedoch liefert der mir bei dem Grenzwert 1. Kannst du mir bitte noch sagen was ich bei der Grenzwertbildung falsch gemacht habe.
Vielen Dank schonmal
Jonas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 So 26.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jonas,
damit Abakus das nochmal prüfen kann, falls gewünscht, stelle ich diese
Frage hier mal nur auf halb beantwortet.
Ausgangssituation: Gesucht ist, falls existent, der folgende Grenzwert
[mm] $\lim_{n\rightarrow \infty }{\sum_{k=1}^{ n }{\frac{k}{ {n}^{ 2 } } \cdot {e}^{ \frac { k }{ n } } } }& [/mm] $.
1. Schreibe für jedes $n [mm] \in \IN$
[/mm]
[mm] ${\sum_{k=1}^{ n }{\frac{k}{ {n}^{ 2 } } \cdot {e}^{ \frac { k }{ n } } } }=\frac{1}{n^2}*\sum_{k=1}^n k*e^{k/n}=\frac{1}{n^2}*\red{\sum_{k=1}^n k*(e^{1/n})^k}\,.$
[/mm]
2. Für jedes feste $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist [mm] $q_n:=e^{1/n}$ [/mm] eine feste Zahl, also bei
[mm] $\red{\sum_{k=1}^n k*(e^{1/n})^k}=\red{\sum_{k=1}^n k*(q_n)^k}$
[/mm]
ist [mm] $q_n$ [/mm] fest! (Unabhängig vom Laufindex k.)
Mit Ableitungen würde ich hier jetzt gar nicht argumentieren wollen, denn
so, wie ich Deine Frage lese, habt ihr Ableitungen (und vermutlich auch
Potenzreihen) noch gar nicht behandelt.
[Oder wurde explizit gesagt, dass ihr Schulkenntnisse benutzen dürft?
Denn mit
[mm] $T_n(q):=\sum_{k=0}^n q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ [/mm] (für $q [mm] \neq [/mm] 1$
kannst Du dann doch ganz *schulmathematisch-elementar* einfach
[mm] $\frac{d}{dq}T_n(q)\,$
[/mm]
mal hinschreiben:
[mm] $\frac{d}{dq}T_n(q)$ [/mm] ist
einerseits = [mm] $\frac{d}{dq}\left(\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\right)$,
[/mm]
wobei Du hier Quotientenregel etc. anwendest, und andererseits
[mm] $\frac{d}{dq}T_n(q)=\frac{d}{dq}\sum_{k=0}^n q^k=\sum_{k=0}^n \frac{d}{dq}q^k=...=\frac{1}{q}*\sum_{\ell=1}^{n}\ell*q^{\ell}$).]
[/mm]
Wir brauchen nun aber dennoch eine Formel für
[mm] $\sum_{k=1}^n \red{k}\cdot q^k\,.$
[/mm]
[Wäre der störende Faktor [mm] $\red{k}$ [/mm] nicht da (also stünde da stets eine 1), so
könnten wir für $q [mm] \neq [/mm] 1$
[mm] $\sum_{k=1}^n q^k=q*\sum_{\ell=0}^{n-1} q^\ell$
[/mm]
schreiben - oder alternativ
[mm] $\sum_{k=1}^n q^k=-q^0+q^0+\sum_{k=1}^n q^k=-1+\sum_{k=0}^n q^k\,.$
[/mm]
Beide Wege zeigen
[mm] $\sum_{k=1}^n q^k=\frac{q*(1-q^n)}{1-q}\,.$ [/mm]
Aber das nur am Rande; die Rechnung funktioniert auch für $1 [mm] \neq [/mm] q [mm] \in \IC$ [/mm] so!]
Jetzt gibt es aber einen Trick, der auch hilft, wenn man noch nicht allzu viel
weiß:
Sei [mm] $S_n:=S_n(q):=\sum_{k=1}^n k*q^k\,.$ [/mm] Dann gilt
[mm] $S_n=\sum_{k=1}^n \{(k-1)q^k+q^k\}\,.$
[/mm]
Also
(*) [mm] $S_n=\left(\blue{\sum_{k=1}^n (k-1)q^k}\right)+\sum_{k=1}^n q^k\,.$
[/mm]
Schreiben wir
[mm] $\blue{\sum_{k=1}^n (k-1)q^k}=q*\sum_{k=1}^n (k-1)q^{k-1}=q*\sum_{\ell=0}^{n-1} \ell q^{\ell}$
[/mm]
und beachten wir [mm] $0*q^0=0\,,$ [/mm] so gilt
[mm] $\blue{\sum_{k=1}^n (k-1)q^k}=q*\sum_{\ell=\red{1}}^{n-1} \ell q^{\ell}$
[/mm]
Setzen wir dies in (*) ein, so folgt für $q [mm] \neq [/mm] 1$
(**) [mm] $S_n=q*S_{\red{n-1}}+\frac{q*(1-q^n)}{1-q}\,.$
[/mm]
(Hier habe ich tatsächlich nun doch auch das benutzt, was ich eben nur so
am Rande erzählt habe!)
Jetzt sagst Du vielleicht: "Na toll, aber ich will doch einen expliziten Ausdruck für
[mm] $S_n\,,$ [/mm] und nicht solch' einen rekursiven Zusammenhang!"
Dann sage ich: "Na, dann denk' mal kurz drüber nach, ob Du nicht eh schon
einen Zshg. zwischen [mm] $S_n$ [/mm] und [mm] $S_{n-1}$ [/mm] kennst:
(ZSHG.) [mm] $S_n=\sum_{k=1}^n k*q^k=\left(\sum_{k=1}^{\red{n-1}}kq^k\right)+n*q^n$
[/mm]
Benutze also, nachdem Du etwa (ZSHG.) nach [mm] $S_{n-1}$ [/mm] aufgelöst hast, dieses
Ergebnis in (**) und löse nach [mm] $S_n$ [/mm] auf.
Zur Kontrolle: Ich schreibe mal [mm] $S\,$ [/mm] statt [mm] $S_n$, [/mm] dann
[mm] $S=q*(S-n*q^n)+\frac{q*(1-q^n)}{1-q}$
[/mm]
[mm] $\iff$
[/mm]
[mm] $S(1-q)=\frac{q*(1-q^n)}{1-q}-n*q^{n+1}$
[/mm]
[mm] $\iff$ $S=\frac{q*(1-q^n)-(1-q)*n*q^{n+1}}{(1-q)^2}=...=q*\frac{1-(n+1)q^{n}+nq^{n+1}}{(1-q)^2}$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:54 So 26.04.2015 | | Autor: | Jonas123 |
Hallo Markus, vielen Dank für deine Mühe.
Wir haben Potenzreihen, Reihenentwicklungen und Ableitungen alles schon behandelt und momentan sind wir gerade bei Integralen weshalb ich auch denke das wir das hier verwenden sollen.
Ich muss mir jetzt erst mal deine Ausarbeitung durchlesen und gebe dann Bescheid wenn ich Fragen habe.
Jonas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 So 26.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jonas,
> Hallo Markus, vielen Dank für deine Mühe.
ich heiße Marcel, aber das kann ja mal vorkommen.
> Wir haben Potenzreihen, Reihenentwicklungen und Ableitungen
> alles schon behandelt und momentan sind wir gerade bei
> Integralen weshalb ich auch denke das wir das hier
> verwenden sollen.
Integrale kannst Du auch verwenden - schreibe halt
[mm] $\sum_{k=1}^n kq^{k}=q*\sum_{k=1}^n kq^{k-1}$
[/mm]
und integriere dann
[mm] $\sum_{k=1}^n kq^{k-1}$
[/mm]
+Summandenweise+ (da steht eine ENDLICHE Summe; Integrationsvariable
ist [mm] $q\,$). [/mm]
Beachte aber, dass Stammfunktionen nur eindeutig sind bis auf eine Konstante.
Aber: Wenn Du [mm] $f\,$ [/mm] hast und EINE Stammfunktion [mm] $F\,$ [/mm] von [mm] $f\,$ [/mm] (und damit auch
die Klasse alle Stammfunktionen von [mm] $f\,$) [/mm] hast, dann *wird [mm] $F\,$ [/mm] eindeutig,
wenn Du für ein [mm] $x_0$ [/mm] noch [mm] $F(x_0)$ [/mm] vorgegeben hast*.
Beispiel: Sei [mm] $g(t):=t\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $\int [/mm] tdt=(x [mm] \mapsto F_c(x):=\frac{1}{2}x^2+c)$. [/mm]
Wüßtest Du nun [mm] $F(2)=6\,,$ [/mm] so lieferte Dir das
[mm] $\frac{1}{2}2^2+c=6$
[/mm]
und damit [mm] $c=4\,,$ [/mm] also [mm] $F=F_4$ [/mm] ist dann *die* gewünschte Stammfunktion.
> Ich muss mir jetzt erst mal deine Ausarbeitung durchlesen
> und gebe dann Bescheid wenn ich Fragen habe.
Klar, gerne.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:13 So 26.04.2015 | | Autor: | Jonas123 |
Sorry für den verwechselten Namen Marcel, tut mir leid.
Du hast recht mit deiner Aussage bezügl. den Stammfunktionen. Bei uns in der Vorlesung wurde die Konstante zwar immer sehr großzügig ignoriert, aber werde das definitiv berücksichtigen.
Grüße Jonas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:21 So 26.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jonas,
> Sorry für den verwechselten Namen Marcel, tut mir leid.
>
> Du hast recht mit deiner Aussage bezügl. den
> Stammfunktionen. Bei uns in der Vorlesung wurde die
> Konstante zwar immer sehr großzügig ignoriert, aber werde
> das definitiv berücksichtigen.
na, es kommt ein wenig drauf an, welche Bedeutung man dem Symbol
[mm] $\int [/mm] f(y)dy$
(ich spiele immer gerne ein wenig mit dem Namen der Integrationsvariablen)
zukommen läßt. Steht es nur für (irgend-) eine Stammfunktion, dann brauche
ich das nicht allgemein hinzuschreiben.
Steht es für die Klasse aller, so brauche ich dabei auch nur einen Repräsentanten
dieser Klasse.
Will ich aber einen bestimmten Repräsentanten herausgreifen, etwa einen,
von dem ich weiß, dass er an einer Stelle einen bestimmten Funktionswert
hat, dann muss ich schon irgendwie die Konstante *ermitteln*.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 So 26.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Berechne den Grenzwert von
> [mm]&\lim_{n\rightarrow \infty }{\sum_{k=1}^{ n }{\frac{k}{ {n}^{ 2 } } \cdot {e}^{ \frac { k }{ n } } } }&[/mm]
>
> Hallo zusammen,
>
> ich möchte folgende Aufgabe verstehen, komme aber nicht
> wirklich weiter. Hier meine bisherigen
> Überlegungen/Ansätze:
>
> Wenn ich die Reihe integriere bekomme ich mit
> Substitutionsregel [mm]&-{e}^{\frac { k }{ n }}&.[/mm] Die einzige
> Reihe von der ich den Grenzwert bestimmen kann ist die
> geometrische Reihe, die wir in der Vorlesung wie folgt
> definiert haben: [mm]&\sum_{k=0}^{\infty} a_0 q^k[/mm] =
> [mm]\frac{a_0}{1-q}&.[/mm] Ich vermute mal, dass ich in der Aufgabe
> irgendwie in diese umformen muss, nur weiß ich beim besten
> Willen nicht wie.
>
> Wenn ich meine Geometrische Reihe dann ableite sollte ich
> meine ursprüngliche Reihe haben und kann gleichzeitig den
> Grenzwert bestimmen.
>
> So meine Gedanken. Könnt ihr mir bitte sagen ob ich
> überhaupt auf der richtigen Spur bin und wenn ja wie man
> in die geometrische Reihe überführen kann.
>
> Bin für jeden Tipp dankbar
>
> Wie immer viele Grüße
>
> Jonas
>
[mm] \sum_{k=1}^{ n }{\frac{k}{ {n}^{ 2 } } \cdot {e}^{ \frac { k }{ n } } } [/mm] kann aufgefasst werden als Riemannsche Zwischensumme für das Integral
[mm] \integral_{0}^{1}{xe^x dx}
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:01 So 26.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> > Berechne den Grenzwert von
> > [mm]&\lim_{n\rightarrow \infty }{\sum_{k=1}^{ n }{\frac{k}{ {n}^{ 2 } } \cdot {e}^{ \frac { k }{ n } } } }&[/mm]
>
> >
> > Hallo zusammen,
> >
> > ich möchte folgende Aufgabe verstehen, komme aber nicht
> > wirklich weiter. Hier meine bisherigen
> > Überlegungen/Ansätze:
> >
> > Wenn ich die Reihe integriere bekomme ich mit
> > Substitutionsregel [mm]&-{e}^{\frac { k }{ n }}&.[/mm] Die einzige
> > Reihe von der ich den Grenzwert bestimmen kann ist die
> > geometrische Reihe, die wir in der Vorlesung wie folgt
> > definiert haben: [mm]&\sum_{k=0}^{\infty} a_0 q^k[/mm] =
> > [mm]\frac{a_0}{1-q}&.[/mm] Ich vermute mal, dass ich in der Aufgabe
> > irgendwie in diese umformen muss, nur weiß ich beim besten
> > Willen nicht wie.
> >
> > Wenn ich meine Geometrische Reihe dann ableite sollte ich
> > meine ursprüngliche Reihe haben und kann gleichzeitig den
> > Grenzwert bestimmen.
> >
> > So meine Gedanken. Könnt ihr mir bitte sagen ob ich
> > überhaupt auf der richtigen Spur bin und wenn ja wie man
> > in die geometrische Reihe überführen kann.
> >
> > Bin für jeden Tipp dankbar
> >
> > Wie immer viele Grüße
> >
> > Jonas
> >
>
>
> [mm]\sum_{k=1}^{ n }{\frac{k}{ {n}^{ 2 } } \cdot {e}^{ \frac { k }{ n } } }[/mm]
> kann aufgefasst werden als Riemannsche Zwischensumme für
> das Integral
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{xe^x dx}[/mm]
na, das ist ja mal 'ne superknappe Lösung.
Gruß,
Marcel
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