Grenzwert von Massinhalt < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 So 15.01.2012 | | Autor: | physicus |
hallo zusammen,
Ich studiere einen Beweis und eine Kleinigkeit ist mir nicht ganz klar. Vielleicht kann mir ja jemand helfen. Nehmen wir an, dass ich eine Folge von messbaren Funktionen habe [mm] $(f_n)$ [/mm] auf einem messbaren Raum. Dann definiere ich eine Folge von reellen Zahlen durch
[mm] $x_n:=\mu(\{f_n=a\})$ [/mm] wobei [mm] $\mu$ [/mm] das Mass auf dem messbaren Raum ist und [mm] $a\in \IR$. [/mm] Es wird dann gezeigt, dass [mm] $(x_n)$ [/mm] eine wachsende nach oben beschränkte Folge ist, daher konvergiert sie gegen ein Element $x$. Genauer, es wird gezeigt, dass [mm] $\{f_n=a\}\subset \{f_{n+1}=a\}$. [/mm] Nun zu meiner Frage, wieso hat dieses Element foglende Gestalt:
[mm] $x=\mu(\cup_{n\ge1}\{f_n=a\})$?
[/mm]
Herzlichen Dank für die Hilfe
Gruss
physicus
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:30 Mo 16.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> hallo zusammen,
>
> Ich studiere einen Beweis und eine Kleinigkeit ist mir
> nicht ganz klar. Vielleicht kann mir ja jemand helfen.
> Nehmen wir an, dass ich eine Folge von messbaren Funktionen
> habe [mm](f_n)[/mm] auf einem messbaren Raum. Dann definiere ich
> eine Folge von reellen Zahlen durch
>
> [mm]x_n:=\mu(\{f_n=a\})[/mm] wobei [mm]\mu[/mm] das Mass auf dem messbaren
> Raum ist und [mm]a\in \IR[/mm]. Es wird dann gezeigt, dass [mm](x_n)[/mm]
> eine wachsende nach oben beschränkte Folge ist, daher
> konvergiert sie gegen ein Element [mm]x[/mm]. Genauer, es wird
> gezeigt, dass [mm]\{f_n=a\}\subset \{f_{n+1}=a\}[/mm].
Für eine bel. Folge [mm] (f_n) [/mm] messbarer Funktionen ist das i.a. nicht richtig.
Erfüllt [mm] (f_n) [/mm] noch Vor. , die Du verschwiegen hast ?
> Nun zu meiner
> Frage, wieso hat dieses Element foglende Gestalt:
>
> [mm]x=\mu(\cup_{n\ge1}\{f_n=a\})[/mm]?
Wir setzen [mm] A_n:=\{f_n=a\}.
[/mm]
Wegen [mm] A_n \subset A_{n+1} [/mm] ist
[mm] \mu(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n)= \limes_{n\rightarrow\infty} \mu(A_n).
[/mm]
FRED
>
> Herzlichen Dank für die Hilfe
>
> Gruss
>
> physicus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:35 Mo 16.01.2012 | | Autor: | physicus |
Hallo fred
Ich Depp! Trotzdem danke für die Antwort. Bzgl deiner Frage: Wie ich geschrieben habe, wird dies im Beweis gezeigt. Das folgt aus der Definition von der Folge [mm] $f_n$. [/mm] Allerdings ist das Setting ziemlich umfassend und spielte ja keine Rolle bei der Beantwortung der Frage. Daher habe ich dies weggelassen. Es geht um die Betrachtung von Branching processes.
Nochmals Danke!
Gruss
physicus
|
|
|
|
