Grenzwert von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Man berechne im Konvergenzfall den Grenzwert der Folge [mm]a_n[/mm], wobei
[mm]a_n[/mm] einen der folgenden Werte hat:
1. [mm]\bruch{1}{2^n}\vektor{n \\
k[/mm]
2. [mm]\sqrt[n]{a^n + b^n + c^n} [/mm]
3. [mm]\bruch{a^n - n^b}{a^n + n^b}[/mm]
[mm]a,b,c \in\IR_+[/mm]
Guten Abend.
Zu 1:
[mm]\bruch{1}{2^n}\vektor{n \\
k } = \bruch{1}{2^n}* \bruch{n!}{k!(n-k)!}[/mm]
Hier weiß ich nun nicht mehr weiter.
Der Grenzwert von dem ersten Bruch ist 0, aber bei dem zweiten habe ich keine Idee. Was gilt denn für das k?
Oder muss ich da dann eine Fallunterscheidung machen?
Also für welche k das ganze konvergiert und für welche divergiert.
Der zweite Bruch macht mir wirklich Angst.![[knirsch]](/images/smileys/knirsch.gif "[knirsch]")
Zu 2:
Ich weiß, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a^n } = a[/mm] und das gleiche gilt für b und c auch.
Also entspricht der Grenzwert vielleicht der Summe aus a+b+c ?
Zu 3:
Hier hatte ich zunächst an die 3.binomische Formel gedacht, aber die hat mich nicht weitergebracht.
Hier habe ich leider keinen Ansatz :/
Könnt Ihr mir bitte einen Tipp geben?
Vielen Dank für jede Hilfe :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:27 Do 17.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> 2. [mm]\sqrt[n]{a^n + b^n + c^n}[/mm]
>
> 3. [mm]\bruch{a^n - n^b}{a^n + n^b}[/mm]
>
> [mm]a,b,c \in\IR_+[/mm]
>
>
> Guten Abend.
gute Nacht, von den Sternlein...
> Zu 2:
>
> Ich weiß, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a^n } = a[/mm]
> und das gleiche gilt für b und c auch.
> Also entspricht der Grenzwert vielleicht der Summe aus
> a+b+c ?
Nein: Es gilt
[mm] $$\max\{a,b,c\}=\sqrt[n]{(\max\{a,b,c\})^n} \le \sqrt[n]{a^n+b^n+c^n} \le \sqrt[n]{3*(\max\{a,b,c\})^n}=\sqrt[n]{3}*\max\{a,b,c\}\,,$$
[/mm]
für jedes $n [mm] \in \IN\,.$ [/mm] (Warum?) Was folgt bei $n [mm] \to \infty$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel :)
> Hallo,
>
> > 2. [mm]\sqrt[n]{a^n + b^n + c^n}[/mm]
> >
> > 3. [mm]\bruch{a^n - n^b}{a^n + n^b}[/mm]
> >
> > [mm]a,b,c \in\IR_+[/mm]
> >
> >
> > Guten Abend.
>
> gute Nacht, von den Sternlein...
:)
> > Zu 2:
> >
> > Ich weiß, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a^n } = a[/mm]
> > und das gleiche gilt für b und c auch.
> > Also entspricht der Grenzwert vielleicht der Summe aus
> > a+b+c ?
>
> Nein: Es gilt
> [mm]\max\{a,b,c\}=\sqrt[n]{(\max\{a,b,c\})^n} \le \sqrt[n]{a^n+b^n+c^n} \le \sqrt[n]{3*(\max\{a,b,c\})^n}=\sqrt[n]{3}*\max\{a,b,c\}\,,[/mm]
Du hast also das Sandwich Theorem angewandt.
> für jedes [mm]n \in \IN\,.[/mm] (Warum?) Was folgt bei [mm]n \to \infty[/mm]?
Es folgt, dass der Grenzwert [mm]\max\{a,b,c\}[/mm] ist.
Aber ganz ehrlich, wenn das so in der Prüfung drangekommen wäre, hätte ich 0 Punkte. Ich kann einfach nicht verstehen, warum der Grenzwert der größten Zahl von a,b,c entspricht. Wieso spielen die anderen dann keine Rolle? Ich habe schon mal bei einer Grenzwertbetrachtung gehört, dass man sich nur die Potenz in der Wurzel anschaut, die am schnellsten wächst und die anderen Potenzen vernachlässigen kann. Aber warum?
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 Do 17.01.2013 | | Autor: | fred97 |
>
> Hallo Marcel :)
>
> > Hallo,
> >
> > > 2. [mm]\sqrt[n]{a^n + b^n + c^n}[/mm]
> > >
> > > 3. [mm]\bruch{a^n - n^b}{a^n + n^b}[/mm]
> > >
> > > [mm]a,b,c \in\IR_+[/mm]
> > >
> > >
> > > Guten Abend.
> >
> > gute Nacht, von den Sternlein...
>
> :)
>
> > > Zu 2:
> > >
> > > Ich weiß, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a^n } = a[/mm]
> > > und das gleiche gilt für b und c auch.
> > > Also entspricht der Grenzwert vielleicht der Summe
> aus
> > > a+b+c ?
> >
> > Nein: Es gilt
> > [mm]\max\{a,b,c\}=\sqrt[n]{(\max\{a,b,c\})^n} \le \sqrt[n]{a^n+b^n+c^n} \le \sqrt[n]{3*(\max\{a,b,c\})^n}=\sqrt[n]{3}*\max\{a,b,c\}\,,[/mm]
>
> Du hast also das Sandwich Theorem angewandt.
>
> > für jedes [mm]n \in \IN\,.[/mm] (Warum?) Was folgt bei [mm]n \to \infty[/mm]?
>
> Es folgt, dass der Grenzwert [mm]\max\{a,b,c\}[/mm] ist.
> Aber ganz ehrlich, wenn das so in der Prüfung
> drangekommen wäre, hätte ich 0 Punkte. Ich kann einfach
> nicht verstehen, warum der Grenzwert der größten Zahl von
> a,b,c entspricht. Wieso spielen die anderen dann keine
> Rolle?
Das hat Marcel Dir doch hiermit
$ [mm] \max\{a,b,c\}=\sqrt[n]{(\max\{a,b,c\})^n} \le \sqrt[n]{a^n+b^n+c^n} \le \sqrt[n]{3\cdot{}(\max\{a,b,c\})^n}=\sqrt[n]{3}\cdot{}\max\{a,b,c\}\,, [/mm] $
gezeigt.
> Ich habe schon mal bei einer Grenzwertbetrachtung
> gehört, dass man sich nur die Potenz in der Wurzel
> anschaut, die am schnellsten wächst und die anderen
> Potenzen vernachlässigen kann. Aber warum?
Schreib mal, um welche Folge es sich konkret handelt.
FRED
>
> > Gruß,
> > Marcel
>
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Hallo Fred :)
> > Hallo Marcel :)
> >
> > > Hallo,
> > >
> > > > 2. [mm]\sqrt[n]{a^n + b^n + c^n}[/mm]
> > > >
> > > > 3. [mm]\bruch{a^n - n^b}{a^n + n^b}[/mm]
> > > >
> > > > [mm]a,b,c \in\IR_+[/mm]
> > > >
> > > >
> > > > Guten Abend.
> > >
> > > gute Nacht, von den Sternlein...
> >
> > :)
> >
> > > > Zu 2:
> > > >
> > > > Ich weiß, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a^n } = a[/mm]
> > > > und das gleiche gilt für b und c auch.
> > > > Also entspricht der Grenzwert vielleicht der
> Summe
> > aus
> > > > a+b+c ?
> > >
> > > Nein: Es gilt
> > > [mm]\max\{a,b,c\}=\sqrt[n]{(\max\{a,b,c\})^n} \le \sqrt[n]{a^n+b^n+c^n} \le \sqrt[n]{3*(\max\{a,b,c\})^n}=\sqrt[n]{3}*\max\{a,b,c\}\,,[/mm]
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> > Du hast also das Sandwich Theorem angewandt.
> >
> > > für jedes [mm]n \in \IN\,.[/mm] (Warum?) Was folgt bei [mm]n \to \infty[/mm]?
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> >
> > Es folgt, dass der Grenzwert [mm]\max\{a,b,c\}[/mm] ist.
> > Aber ganz ehrlich, wenn das so in der Prüfung
> > drangekommen wäre, hätte ich 0 Punkte. Ich kann einfach
> > nicht verstehen, warum der Grenzwert der größten Zahl von
> > a,b,c entspricht. Wieso spielen die anderen dann keine
> > Rolle?
>
> Das hat Marcel Dir doch hiermit
>
>
> [mm]\max\{a,b,c\}=\sqrt[n]{(\max\{a,b,c\})^n} \le \sqrt[n]{a^n+b^n+c^n} \le \sqrt[n]{3\cdot{}(\max\{a,b,c\})^n}=\sqrt[n]{3}\cdot{}\max\{a,b,c\}\,,[/mm]
>
> gezeigt.
Ja, aber ich will es einfach irgendwie nicht glauben.
Und einfach hinnehmen will ich es auch nicht, sondern verstehen.[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{n^4 + 6^n - n} = \limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{6^n} = 6[/mm]
>
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> > Ich habe schon mal bei einer Grenzwertbetrachtung
> > gehört, dass man sich nur die Potenz in der Wurzel
> > anschaut, die am schnellsten wächst und die anderen
> > Potenzen vernachlässigen kann. Aber warum?
>
> Schreib mal, um welche Folge es sich konkret handelt.
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{n^4 + 6^n - n} = \limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{6^n} = 6[/mm]
> FRED
> >
> > > Gruß,
> > > Marcel
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:08 Do 17.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred :)
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> > > Hallo Marcel :)
> > >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > > 2. [mm]\sqrt[n]{a^n + b^n + c^n}[/mm]
> > > > >
> > > > > 3. [mm]\bruch{a^n - n^b}{a^n + n^b}[/mm]
> > > > >
> > > > > [mm]a,b,c \in\IR_+[/mm]
> > > > >
> > > > >
> > > > > Guten Abend.
> > > >
> > > > gute Nacht, von den Sternlein...
> > >
> > > :)
> > >
> > > > > Zu 2:
> > > > >
> > > > > Ich weiß, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a^n } = a[/mm]
> > > > > und das gleiche gilt für b und c auch.
> > > > > Also entspricht der Grenzwert vielleicht der
> > Summe
> > > aus
> > > > > a+b+c ?
> > > >
> > > > Nein: Es gilt
> > > > [mm]\max\{a,b,c\}=\sqrt[n]{(\max\{a,b,c\})^n} \le \sqrt[n]{a^n+b^n+c^n} \le \sqrt[n]{3*(\max\{a,b,c\})^n}=\sqrt[n]{3}*\max\{a,b,c\}\,,[/mm]
>
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> > >
> > > Du hast also das Sandwich Theorem angewandt.
> > >
> > > > für jedes [mm]n \in \IN\,.[/mm] (Warum?) Was folgt bei [mm]n \to \infty[/mm]?
>
> >
> > >
> > > Es folgt, dass der Grenzwert [mm]\max\{a,b,c\}[/mm] ist.
> > > Aber ganz ehrlich, wenn das so in der Prüfung
> > > drangekommen wäre, hätte ich 0 Punkte. Ich kann einfach
> > > nicht verstehen, warum der Grenzwert der größten Zahl von
> > > a,b,c entspricht. Wieso spielen die anderen dann keine
> > > Rolle?
> >
> > Das hat Marcel Dir doch hiermit
> >
> >
> > [mm]\max\{a,b,c\}=\sqrt[n]{(\max\{a,b,c\})^n} \le \sqrt[n]{a^n+b^n+c^n} \le \sqrt[n]{3\cdot{}(\max\{a,b,c\})^n}=\sqrt[n]{3}\cdot{}\max\{a,b,c\}\,,[/mm]
>
> >
> > gezeigt.
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> Ja, aber ich will es einfach irgendwie nicht glauben.
> Und einfach hinnehmen will ich es auch nicht, sondern
> verstehen.[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{n^4 + 6^n - n} = \limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{6^n} = 6[/mm]
>
> >
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> >
> > > Ich habe schon mal bei einer Grenzwertbetrachtung
> > > gehört, dass man sich nur die Potenz in der Wurzel
> > > anschaut, die am schnellsten wächst und die anderen
> > > Potenzen vernachlässigen kann. Aber warum?
> >
> > Schreib mal, um welche Folge es sich konkret handelt.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{n^4 + 6^n - n} = \limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{6^n} = 6[/mm]
Für hinreichend große n ist
[mm] 6^n \le n^4+6^n-n \le 2*6^n
[/mm]
Jetzt n-te Wurzel ziehen und dann "Sandwich".
FRED
>
>
> > FRED
> > >
> > > > Gruß,
> > > > Marcel
> > >
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Do 17.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lisa,
> Hallo Fred :)
>
> > > Hallo Marcel :)
> > >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > > 2. [mm]\sqrt[n]{a^n + b^n + c^n}[/mm]
> > > > >
> > > > > 3. [mm]\bruch{a^n - n^b}{a^n + n^b}[/mm]
> > > > >
> > > > > [mm]a,b,c \in\IR_+[/mm]
> > > > >
> > > > >
> > > > > Guten Abend.
> > > >
> > > > gute Nacht, von den Sternlein...
> > >
> > > :)
> > >
> > > > > Zu 2:
> > > > >
> > > > > Ich weiß, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a^n } = a[/mm]
> > > > > und das gleiche gilt für b und c auch.
> > > > > Also entspricht der Grenzwert vielleicht der
> > Summe
> > > aus
> > > > > a+b+c ?
> > > >
> > > > Nein: Es gilt
> > > > [mm]\max\{a,b,c\}=\sqrt[n]{(\max\{a,b,c\})^n} \le \sqrt[n]{a^n+b^n+c^n} \le \sqrt[n]{3*(\max\{a,b,c\})^n}=\sqrt[n]{3}*\max\{a,b,c\}\,,[/mm]
>
> >
> > >
> > > Du hast also das Sandwich Theorem angewandt.
> > >
> > > > für jedes [mm]n \in \IN\,.[/mm] (Warum?) Was folgt bei [mm]n \to \infty[/mm]?
>
> >
> > >
> > > Es folgt, dass der Grenzwert [mm]\max\{a,b,c\}[/mm] ist.
> > > Aber ganz ehrlich, wenn das so in der Prüfung
> > > drangekommen wäre, hätte ich 0 Punkte. Ich kann einfach
> > > nicht verstehen, warum der Grenzwert der größten Zahl von
> > > a,b,c entspricht. Wieso spielen die anderen dann keine
> > > Rolle?
> >
> > Das hat Marcel Dir doch hiermit
> >
> >
> > [mm]\max\{a,b,c\}=\sqrt[n]{(\max\{a,b,c\})^n} \le \sqrt[n]{a^n+b^n+c^n} \le \sqrt[n]{3\cdot{}(\max\{a,b,c\})^n}=\sqrt[n]{3}\cdot{}\max\{a,b,c\}\,,[/mm]
>
> >
> > gezeigt.
>
> Ja, aber ich will es einfach irgendwie nicht glauben.
dann musst Du Dir alle Schritte im Beweis angucken und sagen, was "Du
nicht glauben willst". Denn ich kann Dir jeden Schritt beweisen oder Dir
nachliefern, was Du wissen musst, wenn Du mir da etwas nicht glaubst.
Wir sind in der Mathematik, und das da sind keine Axiome, die musst Du
also weder glauben...
> Und einfach hinnehmen will ich es auch nicht,
...noch einfach hinnehmen. Im Gegenteil:
> sondern
> verstehen.
Dann Beweis nachvollziehen, verinnerlichen, weglegen und versuchen, es
nochmal alleine zu beweisen...
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{n^4 + 6^n - n} = \limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{6^n} = 6[/mm]
>
> >
> >
> >
> >
> >
> > > Ich habe schon mal bei einer Grenzwertbetrachtung
> > > gehört, dass man sich nur die Potenz in der Wurzel
> > > anschaut, die am schnellsten wächst und die anderen
> > > Potenzen vernachlässigen kann. Aber warum?
Ansonsten habe ich Dir in der anderen Antwort nochmal kurz das
Wesentliche zusammengefasst.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Do 17.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lisa,
>
> Hallo Marcel :)
>
> > Hallo,
> >
> > > 2. [mm]\sqrt[n]{a^n + b^n + c^n}[/mm]
> > >
> > > 3. [mm]\bruch{a^n - n^b}{a^n + n^b}[/mm]
> > >
> > > [mm]a,b,c \in\IR_+[/mm]
> > >
> > >
> > > Guten Abend.
> >
> > gute Nacht, von den Sternlein...
>
> :)
>
> > > Zu 2:
> > >
> > > Ich weiß, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a^n } = a[/mm]
> > > und das gleiche gilt für b und c auch.
> > > Also entspricht der Grenzwert vielleicht der Summe
> aus
> > > a+b+c ?
> >
> > Nein: Es gilt
> > [mm]\max\{a,b,c\}=\sqrt[n]{(\max\{a,b,c\})^n} \le \sqrt[n]{a^n+b^n+c^n} \le \sqrt[n]{3*(\max\{a,b,c\})^n}=\sqrt[n]{3}*\max\{a,b,c\}\,,[/mm]
>
> Du hast also das Sandwich Theorem angewandt.
>
> > für jedes [mm]n \in \IN\,.[/mm] (Warum?) Was folgt bei [mm]n \to \infty[/mm]?
>
> Es folgt, dass der Grenzwert [mm]\max\{a,b,c\}[/mm] ist.
> Aber ganz ehrlich, wenn das so in der Prüfung
> drangekommen wäre, hätte ich 0 Punkte. Ich kann einfach
> nicht verstehen, warum der Grenzwert der größten Zahl von
> a,b,c entspricht. Wieso spielen die anderen dann keine
> Rolle? Ich habe schon mal bei einer Grenzwertbetrachtung
> gehört, dass man sich nur die Potenz in der Wurzel
> anschaut, die am schnellsten wächst und die anderen
> Potenzen vernachlässigen kann. Aber warum?
Fred hat's ja eigentlich gesagt, aber ich gebe Dir die Antwort auf die letzte
Frage dann nochmal zusammengefasst:
Das liegt doch, schau' Dir einfach den Beweis nochmal an, einfach daran, dass
die [mm] $n\,$-te [/mm] Wurzel (also die Funktion [mm] $\sqrt[n]{\cdot}: [0,\infty) \to \IR$) [/mm]
(streng) monoton (wachsend) ist und dass man sich überlegen kann, dass
[mm] $\sqrt[n]{p} \to [/mm] 1$ für alle $p [mm] \in (0,\infty)$ [/mm] gilt. (Und das SOGAR [mm] $\sqrt[n]{n}\to [/mm] 1$ gilt, hatten wir ja schon mal
irgendwo besprochen).
Man erinnert sich hier aber auch irgendwie daran, dass sich eine
Polynomfunktion
[mm] $$P_n(x)=a_nx^n+...+a_2x^2+a_1x+a_0=\sum_{k=0}^n a_kx^k \text{ (erinnert sei hier auch an die Kommutativität der Addition)}$$
[/mm]
(wobei [mm] $a_n \not=0$) [/mm] doch für (betrags-)große [mm] $x\,$ [/mm] im Wesentlichen wie [mm] $a_nx^n$
[/mm]
verhält. (In der Informatik etwa stellt man öfters mal die Aufgabe, sowas
zu beweisen, wobei dann die Landau-Notationen benutzt werden, um die
Aussage, die ich so grob angedeutet habe, zu präzisieren.)
Gruß,
Marcel
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Hallo,
Marcel hat dir ja die zweite Aufgabe schon erläutert.
Für die erste Aufgabe ist es sicherlich hilfreich zu wissen, dass für gegebenes n folgende Summen-Identität gilt:
[mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\
k}=2^n [/mm]
Nun ist ja aber in deinem Fall k einfach eine als fest anzunehmende Zahl mit [mm] 0\le{k}\le{n}. [/mm] Damit sollte es ein leichtes sein, den Grenzwert zu bestimmen.
Bei Aufgabe 3) geht es mal damit los, dass sie unsauber gestellt ist. Da muss noch dazugesagt werden, ob a>1 oder [mm] a\le{1} [/mm] gilt, denn für diese beiden Fälle erhält man unterschiedliche Grenzwerte.
Hast du da eine Angabe vergessen?
Gruß, Diophant
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Hallo Diophant und vielen Dank für die Hilfe :)
> Hallo,
>
> Marcel hat dir ja die zweite Aufgabe schon erläutert.
>
> Für die erste Aufgabe ist es sicherlich hilfreich zu
> wissen, dass für gegebenes n folgende Summen-Identität
> gilt:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\
k}=2^n[/mm]
Und wie kommt man jetzt von der Grenzwertbetrachtung einer Folge auf eine Reihe und ihren Reihenwert?
Ich kann doch [mm]2^n[/mm] jetzt nicht einfach verwenden, weil das doch eine Summe ist. Bei der Grenzwertbetrachtung einer Folge summiere ich die einzelnen Glieder doch nicht.
Könntest du mir das bitte noch genauer erklären?
> Nun ist ja aber in deinem Fall k einfach eine als fest
> anzunehmende Zahl mit [mm]0\le{k}\le{n}.[/mm] Damit sollte es ein
> leichtes sein, den Grenzwert zu bestimmen.
>
> Bei Aufgabe 3) geht es mal damit los, dass sie unsauber
> gestellt ist. Da muss noch dazugesagt werden, ob a>1 oder
> [mm]a\le{1}[/mm] gilt, denn für diese beiden Fälle erhält man
> unterschiedliche Grenzwerte.
>
> Hast du da eine Angabe vergessen?
Die Aufgabe war schon so gestellt, nur das b aus den Komplexen Zahlen kommt.
Aber uns wurde gesagt, dass die Komplexen Zahlen in der Prüfung nicht drankommen werden.
Wie ist denn dein Ansatz?
Liebe Grüße,
Lisa
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Hallo Lisa,
> > Für die erste Aufgabe ist es sicherlich hilfreich zu
> > wissen, dass für gegebenes n folgende Summen-Identität
> > gilt:
> >
> > [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\
k}=2^n[/mm]
>
> Und wie kommt man jetzt von der Grenzwertbetrachtung einer
> Folge auf eine Reihe und ihren Reihenwert?
> Ich kann doch [mm]2^n[/mm] jetzt nicht einfach verwenden, weil das
> doch eine Summe ist. Bei der Grenzwertbetrachtung einer
> Folge summiere ich die einzelnen Glieder doch nicht.
> Könntest du mir das bitte noch genauer erklären?
Na, es ist doch mit der obigen Formel:
[mm]\frac{1}{2^n}\vektor{n\\
k}=\frac{\vektor{n\\
k}}{\sum\limits_{m=0}^n\vektor{n\\
m}[/mm]
Davon den Limes für [mm] $n\to\infty$ [/mm] bestimmen ...
Einfacher scheint mir aber die Benutzung des Sandwichlemmas zu sein mit [mm]0[/mm] als unterer Schrankenfolge und den folgenden Abschätzungen für eine obere Schrankenfolge:
Trivialerweise ist [mm]\vektor{n\\
k}\le n^k[/mm]. Das kannst du sehr leicht begründen.
Zeige weiter [mm]2^n\ge n^{k+1}[/mm] für n hinreichend groß (Induktion)
Damit geht das ratz-fatz ...
=>
> > Nun ist ja aber in deinem Fall k einfach eine als fest
> > anzunehmende Zahl mit [mm]0\le{k}\le{n}.[/mm] Damit sollte es ein
> > leichtes sein, den Grenzwert zu bestimmen.
> >
> Liebe Grüße,
> Lisa
Gruß
schachuzipus
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Hallo schachuzipus :)
> Hallo Lisa,
>
> > > Für die erste Aufgabe ist es sicherlich hilfreich zu
> > > wissen, dass für gegebenes n folgende Summen-Identität
> > > gilt:
> > >
> > > [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\
k}=2^n[/mm]
> >
> > Und wie kommt man jetzt von der Grenzwertbetrachtung einer
> > Folge auf eine Reihe und ihren Reihenwert?
> > Ich kann doch [mm]2^n[/mm] jetzt nicht einfach verwenden, weil
> das
> > doch eine Summe ist. Bei der Grenzwertbetrachtung einer
> > Folge summiere ich die einzelnen Glieder doch nicht.
> > Könntest du mir das bitte noch genauer erklären?
>
> Na, es ist doch mit der obigen Formel:
>
> [mm]\frac{1}{2^n}\vektor{n\\
k}=\frac{\vektor{n\\
k}}{\sum\limits_{m=0}^n\vektor{n\\
m}}[/mm]
>
> Davon den Limes für [mm]n\to\infty[/mm] bestimmen ...
[mm]\frac{1}{2^n}\vektor{n\\
k}=\frac{\vektor{n\\
k}}{\sum\limits_{m=0}^n\vektor{n\\
m}} = \bruch{\sum\limits_{m=0}^n m!(n-m)!}{k!(n-k)!}[/mm]
Ist das so richtig?
Hier weiß ich aber nicht, was der Grenzwert von ist.
> Einfacher scheint mir aber die Benutzung des Sandwichlemmas
> zu sein mit [mm]0[/mm] als unterer Schrankenfolge und den folgenden
> Abschätzungen für eine obere Schrankenfolge:
>
> Trivialerweise ist [mm]\vektor{n\\
k}\le n^k[/mm]. Das kannst du
> sehr leicht begründen.
Für mich ist es nicht leicht
Muss ich hier jetzt wieder [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\
k}=2^n[/mm] einbringen?
> Zeige weiter [mm]2^n\ge n^{k+1}[/mm] für n hinreichend groß
> (Induktion)
>
> Damit geht das ratz-fatz ...
>
> =>
> > > Nun ist ja aber in deinem Fall k einfach eine als fest
> > > anzunehmende Zahl mit [mm]0\le{k}\le{n}.[/mm] Damit sollte es ein
> > > leichtes sein, den Grenzwert zu bestimmen.
> > >
> > Liebe Grüße,
> > Lisa
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 Do 17.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lisa,
> Hallo schachuzipus :)
>
> > Hallo Lisa,
> >
> > > > Für die erste Aufgabe ist es sicherlich hilfreich zu
> > > > wissen, dass für gegebenes n folgende Summen-Identität
> > > > gilt:
> > > >
> > > > [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\
k}=2^n[/mm]
> > >
> > > Und wie kommt man jetzt von der Grenzwertbetrachtung einer
> > > Folge auf eine Reihe und ihren Reihenwert?
> > > Ich kann doch [mm]2^n[/mm] jetzt nicht einfach verwenden, weil
> > das
> > > doch eine Summe ist. Bei der Grenzwertbetrachtung einer
> > > Folge summiere ich die einzelnen Glieder doch nicht.
> > > Könntest du mir das bitte noch genauer erklären?
> >
> > Na, es ist doch mit der obigen Formel:
> >
> > [mm]\frac{1}{2^n}\vektor{n\\
k}=\frac{\vektor{n\\
k}}{\sum\limits_{m=0}^n\vektor{n\\
m}}[/mm]
>
> >
> > Davon den Limes für [mm]n\to\infty[/mm] bestimmen ...
>
>
> [mm]\frac{1}{2^n}\vektor{n\\
k}=\frac{\vektor{n\\
k}}{\sum\limits_{m=0}^n\vektor{n\\
m}} = \bruch{\sum\limits_{m=0}^n m!(n-m)!}{k!(n-k)!}[/mm]
>
> Ist das so richtig?
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Wie hast Du denn da gerechnet? (Wie kommt denn das Summenzeichen
in den Zähler?) Was Schachu meinte:
$$0 [mm] \le \frac{\binom{n}{k}}{\sum\limits_{m=0}^n\binom{n}{m}}=\frac{1}{\sum\limits_{m=0}^n \frac{\binom{n}{m}}{\binom{n}{k}}} \le \frac{1}{\frac{\binom{n}{k+1}}{\binom{n}{k}}}=\frac{\binom{n}{k}}{\binom{n}{k+1}}=\frac{n!}{k!*(n-k)!}*\frac{(k+1)!*(n-(k+1))!}{n!}=\frac{k+1}{n-k}$$
[/mm]
[mm] $\text{(}$Ich [/mm] teste mal gerade die letzte Gleichheit für konkrete Zahlen:
[mm] $$\frac{\binom{7}{4}}{\binom{7}{5}}=\frac{7*6*5*4}{4!}*\frac{5!}{7*6*5*4*3}=\frac{5}{3}=\frac{4+1}{7-4}\text{.)}$$
[/mm]
> Hier weiß ich aber nicht, was der Grenzwert von ist.
Weißt Du's jetzt? (Ist Dir die Abschätzung klar?)
> > Einfacher scheint mir aber die Benutzung des Sandwichlemmas
> > zu sein mit [mm]0[/mm] als unterer Schrankenfolge und den folgenden
> > Abschätzungen für eine obere Schrankenfolge:
> >
> > Trivialerweise ist [mm]\vektor{n\\
k}\le n^k[/mm]. Das kannst du
> > sehr leicht begründen.
>
> Für mich ist es nicht leicht
Naja, Schachuzipus hat da mehr Erfahrung und weiß aus analogen
Überlegungen, was da zielführend ist.
> Muss ich hier jetzt wieder [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\
k}=2^n[/mm]
> einbringen?
Nein, wir machen das mal so:
[mm] $$\binom{n}{k} \le n^k$$
[/mm]
[mm] $$\iff \frac{n*(n-1)*...*(n-k+1)}{k!} \le n^k$$
[/mm]
[mm] $$\iff \frac{n*(n-1)*...*(n-k+1)}{n*n*...*n} \le [/mm] k!$$
Schau' Dir mal am Ende die linke Seite genau an: Es ist, wenn man richtig
hinguckt, sofort klar, dass diese sogar [mm] $\le [/mm] 1$ sein muss...
Nebenbei: Auch diese Ungleichung kann man vielleicht mal per Induktion
zu beweisen versuchen, wenn einem nichts besseres einfällt. Übrigens:
[mm] $$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!*(n-k)!}=\frac{\produkt_{\ell=1}^k (n-\ell+1)}{k!}$$
[/mm]
habe ich oben benützt!
> > Zeige weiter [mm]2^n\ge n^{k+1}[/mm] für n hinreichend groß
> > (Induktion)
> >
> > Damit geht das ratz-fatz ...
> >
> > =>
> > > > Nun ist ja aber in deinem Fall k einfach eine als fest
> > > > anzunehmende Zahl mit [mm]0\le{k}\le{n}.[/mm]
Na, jedenfalls für $n [mm] \ge k\,.$
[/mm]
> > > > Damit sollte es ein
> > > > leichtes sein, den Grenzwert zu bestimmen.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:11 Do 17.01.2013 | | Autor: | LisaWeide |
Hallo Marcel :)
> Hallo Lisa,
>
> > Hallo schachuzipus :)
> >
> > > Hallo Lisa,
> > >
> > > > > Für die erste Aufgabe ist es sicherlich hilfreich zu
> > > > > wissen, dass für gegebenes n folgende Summen-Identität
> > > > > gilt:
> > > > >
> > > > > [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\
k}=2^n[/mm]
> > > >
> > > > Und wie kommt man jetzt von der Grenzwertbetrachtung einer
> > > > Folge auf eine Reihe und ihren Reihenwert?
> > > > Ich kann doch [mm]2^n[/mm] jetzt nicht einfach verwenden,
> weil
> > > das
> > > > doch eine Summe ist. Bei der Grenzwertbetrachtung einer
> > > > Folge summiere ich die einzelnen Glieder doch nicht.
> > > > Könntest du mir das bitte noch genauer
> erklären?
> > >
> > > Na, es ist doch mit der obigen Formel:
> > >
> > > [mm]\frac{1}{2^n}\vektor{n\\
k}=\frac{\vektor{n\\
k}}{\sum\limits_{m=0}^n\vektor{n\\
m}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Davon den Limes für [mm]n\to\infty[/mm] bestimmen ...
> >
> >
> > [mm]\frac{1}{2^n}\vektor{n\\
k}=\frac{\vektor{n\\
k}}{\sum\limits_{m=0}^n\vektor{n\\
m}} = \bruch{\sum\limits_{m=0}^n m!(n-m)!}{k!(n-k)!}[/mm]
>
> >
> > Ist das so richtig?
>
> Wie hast Du denn da gerechnet? (Wie kommt denn das
> Summenzeichen
[mm]\frac{1}{2^n}\vektor{n\\
k}=\frac{\vektor{n\\
k}}{\sum\limits_{m=0}^n\vektor{n\\
m}} = \bruch{\bruch{n!}{k!(n-k)!}}{\sum\limits_{m=0}^n \bruch{n!}{m!(n-m)!}}[/mm]
Und dann bin ich da irgendwie draufgekommen, aber naja ist falsch..
> in den Zähler?) Was Schachu meinte:
> [mm]0 \le \frac{\binom{n}{k}}{\sum\limits_{m=0}^n\binom{n}{m}}=\frac{1}{\sum\limits_{m=0}^n \frac{\binom{n}{m}}{\binom{n}{k}}} \le \frac{1}{\frac{\binom{n}{k+1}}{\binom{n}{k}}}=\frac{\binom{n}{k}}{\binom{n}{k+1}}=\frac{n!}{k!*(n-k)!}*\frac{(k+1)!*(n-(k+1))!}{n!}=\frac{k+1}{n-k}[/mm]
>
> [mm]\text{(}[/mm]Ich teste mal gerade die letzte Gleichheit für
> konkrete Zahlen:
> [mm]\frac{\binom{7}{4}}{\binom{7}{5}}=\frac{7*6*5*4}{4!}*\frac{5!}{7*6*5*4*3}=\frac{5}{3}=\frac{4+1}{7-4}\text{.)}[/mm]
>
> > Hier weiß ich aber nicht, was der Grenzwert von ist.
>
> Weißt Du's jetzt? (Ist Dir die Abschätzung klar?)
![[wein]](/images/smileys/wein.gif "[wein]") Ich bin zu dumm um das zu verstehen.
Wenn unser Professor nicht will, dass wieder über 80% durchfallen, dann nimmt er so etwas nicht dran.
Da ich morgen schreibe, würde ich das ganze hier lieber nach hintenschieben und nach der Prüfung nocheinmal reinschauen, weil ich jetzt zu viel Zeit damit verbrauchen würde.
Vielen Dank für die Hilfe, aber ich wusste nicht, dass es so schwer ist. Aber ich schaue nochmal rein.
Gruß,
lisa
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:54 Do 17.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lisa,
> Hallo Marcel :)
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> > Hallo Lisa,
> >
> > > Hallo schachuzipus :)
> > >
> > > > Hallo Lisa,
> > > >
> > > > > > Für die erste Aufgabe ist es sicherlich hilfreich zu
> > > > > > wissen, dass für gegebenes n folgende Summen-Identität
> > > > > > gilt:
> > > > > >
> > > > > > [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\
k}=2^n[/mm]
> > > > >
> > > > > Und wie kommt man jetzt von der Grenzwertbetrachtung einer
> > > > > Folge auf eine Reihe und ihren Reihenwert?
> > > > > Ich kann doch [mm]2^n[/mm] jetzt nicht einfach
> verwenden,
> > weil
> > > > das
> > > > > doch eine Summe ist. Bei der Grenzwertbetrachtung einer
> > > > > Folge summiere ich die einzelnen Glieder doch nicht.
> > > > > Könntest du mir das bitte noch genauer
> > erklären?
> > > >
> > > > Na, es ist doch mit der obigen Formel:
> > > >
> > > > [mm]\frac{1}{2^n}\vektor{n\\
k}=\frac{\vektor{n\\
k}}{\sum\limits_{m=0}^n\vektor{n\\
m}}[/mm]
>
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> > > >
> > > > Davon den Limes für [mm]n\to\infty[/mm] bestimmen ...
> > >
> > >
> > > [mm]\frac{1}{2^n}\vektor{n\\
k}=\frac{\vektor{n\\
k}}{\sum\limits_{m=0}^n\vektor{n\\
m}} = \bruch{\sum\limits_{m=0}^n m!(n-m)!}{k!(n-k)!}[/mm]
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> > > Ist das so richtig?
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> > Wie hast Du denn da gerechnet? (Wie kommt denn das
> > Summenzeichen
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> [mm]\frac{1}{2^n}\vektor{n\\
k}=\frac{\vektor{n\\
k}}{\sum\limits_{m=0}^n\vektor{n\\
m}} = \bruch{\bruch{n!}{k!(n-k)!}}{\sum\limits_{m=0}^n \bruch{n!}{m!(n-m)!}}[/mm]
>
> Und dann bin ich da irgendwie draufgekommen, aber naja ist
> falsch..
>
> > in den Zähler?) Was Schachu meinte:
> > [mm]0 \le \frac{\binom{n}{k}}{\sum\limits_{m=0}^n\binom{n}{m}}=\frac{1}{\sum\limits_{m=0}^n \frac{\binom{n}{m}}{\binom{n}{k}}} \le \frac{1}{\frac{\binom{n}{k+1}}{\binom{n}{k}}}=\frac{\binom{n}{k}}{\binom{n}{k+1}}=\frac{n!}{k!*(n-k)!}*\frac{(k+1)!*(n-(k+1))!}{n!}=\frac{k+1}{n-k}[/mm]
>
> >
> > [mm]\text{(}[/mm]Ich teste mal gerade die letzte Gleichheit für
> > konkrete Zahlen:
> >
> [mm]\frac{\binom{7}{4}}{\binom{7}{5}}=\frac{7*6*5*4}{4!}*\frac{5!}{7*6*5*4*3}=\frac{5}{3}=\frac{4+1}{7-4}\text{.)}[/mm]
> >
> > > Hier weiß ich aber nicht, was der Grenzwert von ist.
> >
> > Weißt Du's jetzt? (Ist Dir die Abschätzung klar?)
>
> Ich bin zu dumm um das zu verstehen.
> Wenn unser Professor nicht will, dass wieder über 80%
> durchfallen, dann nimmt er so etwas nicht dran.
nein, das verstehst Du: Was ist denn
[mm] $$\lim_{n \to \infty}\frac{k+1}{n-k}=(k+1)*\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n-k}$$
[/mm]
Beachte, dass das [mm] $k\,$ [/mm] FEST (von [mm] $n\,$ [/mm] UNABHÄNGIG) ist - setze mal
beispielsweise ruhig einen Wert, meinetwegen [mm] $k=2000\,,$ [/mm] ein; für andere
[mm] $k\,$ [/mm] ändert sich da am Grenzwert mit [mm] $\textbf{n} \to \infty$ [/mm] NICHTS!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:06 Do 17.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Man berechne im Konvergenzfall den Grenzwert der Folge [mm]a_n[/mm],
> wobei
> [mm]a_n[/mm] einen der folgenden Werte hat:
>
> 1. [mm]\bruch{1}{2^n}\vektor{n \\
k[/mm]
vielleicht machen wir nun eine noch einfachere Alternative zu 1.:
[mm] $$\binom{n}{k}=\frac{n*(n-1)*\ldots*(n-k+1)}{k!}\le \frac{n^k}{k!}$$
[/mm]
Mehr braucht man da eigentlich nicht wirklich, denn [mm] $k\,$ [/mm] ist ja fest,
insbesondere unabhängig von [mm] $n\,.$
[/mm]
Also insgesamt:
$$0 [mm] \le \frac{1}{2^n}\binom{n}{k}\le\frac{1}{k!}*\frac{n^k}{2^n}$$
[/mm]
Und wenn man jetzt lustig ist, benutzt man auch
[mm] $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^k}{2^x}=\lim_{x \to \infty} \frac{x^k}{\exp(\ln(2)*x)}=\ldots=\lim_{x \to \infty} \frac{k!}{(\ln(2))^k*\exp(\ln(2)*x)}=\frac{k!}{(\ln(2))^k}*\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2^x}=\frac{k!}{(\ln(2))^k}*0=0$$
[/mm]
rechnen (hast Du eine Idee, was ich da wohl gemacht habe?) und damit
dann folgern, was
[mm] $$\lim_{n \to \infty}\frac{n^k}{2^n}$$
[/mm]
sein muss.
Gruß,
Marcel
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