Grenzwert von Folge bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Di 26.01.2010 | | Autor: | davidone |
| Aufgabe | Die Aufgabe bezieht sich auf ein Beispiel aus der Mathe-Vorlesung:
Dabei wurde für ein Beispiel als Nebenrechnung postuliert, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2(1+\bruch{1}{n})-2}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}-1}=4 mit n \in N[/mm]
Allerdings ist mir der Weg dahin völig schleierhaft... |
(Mein erster Post; ich hoffe das ist das richtige Subforum und ich habe auch den Rest richtig gemacht.)
Ich habe schon versucht selber drauf zu kommen, allerdings klappts überhaupt nicht:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2(1+\bruch{1}{n})-2}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}-1}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2+\bruch{2}{n}-2}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}-1}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{2}{n}}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}-1} [/mm]
Aber was mache ich mit der Wurzel? Ich weiß, dass sie mit zunehmendem n immer näher an 1 herankommt, aber dann würde ich ja 0 im Nenner bekommen und das ist ja nicht definiert. Man könnte ja auch mit dem Kehrwert multiplizieren, aber das kriegt die Wurzel ja auch nicht weg.
Meine Frage ist jetzt, wo ich da genau den Knoten im Hirn habe und ich wäre sehr verbunden, wenn mir dabei jemand auf die Sprünge helfen könnte.
Mit freundlichen Grüßen
davidone
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Ich zähle auf eure geballte Kompetenz :)
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Hallo davidone,
> Die Aufgabe bezieht sich auf ein Beispiel aus der
> Mathe-Vorlesung:
> Dabei wurde für ein Beispiel als Nebenrechnung
> postuliert, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2(1+\bruch{1}{n})-2}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}-1}=4 mit n \in N[/mm]
>
> Allerdings ist mir der Weg dahin völig schleierhaft...
> (Mein erster Post;
Na dann erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> ich hoffe das ist das richtige Subforum
> und ich habe auch den Rest richtig gemacht.)
Jo, passt schon
>
> Ich habe schon versucht selber drauf zu kommen, allerdings
> klappts überhaupt nicht:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2(1+\bruch{1}{n})-2}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}-1}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2+\bruch{2}{n}-2}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}-1}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{2}{n}}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}-1}[/mm]
>
> Aber was mache ich mit der Wurzel? Ich weiß, dass sie mit
> zunehmendem n immer näher an 1 herankommt, aber dann
> würde ich ja 0 im Nenner bekommen und das ist ja nicht
> definiert. Man könnte ja auch mit dem Kehrwert
> multiplizieren, aber das kriegt die Wurzel ja auch nicht
> weg.
>
> Meine Frage ist jetzt, wo ich da genau den Knoten im Hirn
> habe und ich wäre sehr verbunden, wenn mir dabei jemand
> auf die Sprünge helfen könnte.
Es gibt bei Summen und Differenzen von Wurzeltermen einen "Trick", den es sich lohnt zu merken.
Erweitere so, dass du die 3.binomische Formel bekommst.
So wirst du die Wurzeln los.
Hier erweitere also mit [mm] $\sqrt{1+\frac{1}{n}}\red{+}1$
[/mm]
Das gibt dir nach deinem ersten Zusammenfassen im Zähler:
[mm] $\frac{\frac{2}{n}\cdot{}\left[\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1\right]}{\left[\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1\right]\cdot{}\left[\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1\right]} [/mm] \ = \ [mm] \frac{\frac{2}{n}\cdot{}\left[\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1\right]}{\left[\sqrt{1+\frac{1}{n}}\right]^2-1^2} [/mm] \ \ $ dritte binom. Formel im Nenner
Nun kannst du's weiter bis zum Schluss, oder? ...
>
> Mit freundlichen Grüßen
> davidone
>
> PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt. Ich zähle auf eure geballte
> Kompetenz :)
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:04 Mi 27.01.2010 | | Autor: | davidone |
Vielen Dank erstmal. Das hat mich ein ganzes Stück weiter gebracht.
Allerdings denke ich, dass ich jetzt am letzten Schritt hänge.
(Ich knüpfe mal an deine Formeln an, dann muss ich die nicht nochmal tippen...)
[mm] [...] = \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{2}{n}\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+\bruch{2}{n}}{1+\bruch{1}{n}-1}= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{2}{n}\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+\bruch{2}{n}}{\bruch{1}{n}}=\limes_{n\rightarrow\infty}2\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+\bruch{2}{n}=\limes_{n\rightarrow\infty}2*\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{1+\bruch{1}{n}}*\limes_{n\rightarrow\infty}2*\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n} [/mm]
Wenn jetzt 4 rauskommen würden, wärs richtig :)
Allerdings streben die ja so mit n nach unendlich:
[mm]2 * 1 + 2 * 0 [[/mm]
Oder seh ich das falsch.
Kannst du mir da nochmal zur Seite stehen und mich auf meinen Fehler hinweisen (ich geh mal davon aus, dass einer drin ist).
MfG
davidone
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:43 Mi 27.01.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Du hast einen "ungewollten" Fehler beim Erweitern mit n gemacht...
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Mi 27.01.2010 | | Autor: | davidone |
Ich kann dir da leider nicht folgen.
Wo genau ist denn der Fehler bzw wo hab ich mit n erweitert? Ich hab nochmal alle nachgerechnet, aber ich finde ihn nicht.
Könntest du mir vielleicht die genaue Stelle "zeigen"?
Mittlerweile Steh ich mit Mathe echt auf dem Krigsfuß :(
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> Ich kann dir da leider nicht folgen.
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> Wo genau ist denn der Fehler bzw wo hab ich mit n
> erweitert? Ich hab nochmal alle nachgerechnet, aber ich
> finde ihn nicht.
>
> Könntest du mir vielleicht die genaue Stelle "zeigen"?
>
> Mittlerweile Steh ich mit Mathe echt auf dem Krigsfuß :(
habe mir nur deine letzten gleichungen angeschaut, beim erweitern denk ich aber nix gefunden, jedoch hier:
$ [...] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{2}{n}\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+\bruch{2}{n}}{1+\bruch{1}{n}-1}= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{2}{n}\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+\bruch{2}{n}}{\bruch{1}{n}}=\limes_{n\rightarrow\infty}2\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+\bruch{2}{n}=\limes_{n\rightarrow\infty}2\cdot{}\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{1+\bruch{1}{n}}\cdot{}\limes_{n\rightarrow\infty}2\cdot{}\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n} [/mm] $
in der 2. gleichung von links ist noch alles in butter, eine weiter rechts hast du ja in zähler und nenner 1/n ausgeklammert und gekürzt, so dass ja im nenner nun eine 1 stehen würde, im zähler jedoch [mm] 2\sqrt{1+1/n}+2
[/mm]
und da kommt direkt 4 raus
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Mi 27.01.2010 | | Autor: | davidone |
Oh, Vielen Dank.
Das man da 1/n ausklammern kann ist mir völlig entgangen. Ich dachte ich kann vorne kürzen, aber hinten nicht, weils ja eine Summe ist...
Jetzt hab ich es verstanden.
Danke nochmal.
Kurze andere Frage noch:
Das zur 3. binom. Formel erweitern ist ja ein ziemlich ausgefuchster Trick. Gibts noch andere Tricks bei Grenzwertbestimmungen, die man sich merken sollte?
Also ich kenne noch [mm] n^2 [/mm] ausklammern, damit man [mm] 1/n^2 [/mm] kriegt, aber sonst ist das bei mir immer eine Würgerei...
Ich danke nochmal für die Lösung des Problems.
Ciao
davidone
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> Oh, Vielen Dank.
> Das man da 1/n ausklammern kann ist mir völlig entgangen.
> Ich dachte ich kann vorne kürzen, aber hinten nicht, weils
> ja eine Summe ist...
grad WEIL der zähler aus der summe besteht, musst du beide summanden kürzen!
[mm] \frac{10+20}{5}=\frac{5*(2+4)}{5}=2+4
[/mm]
> Jetzt hab ich es verstanden.
> Danke nochmal.
>
> Kurze andere Frage noch:
> Das zur 3. binom. Formel erweitern ist ja ein ziemlich
> ausgefuchster Trick. Gibts noch andere Tricks bei
> Grenzwertbestimmungen, die man sich merken sollte?
> Also ich kenne noch [mm]n^2[/mm] ausklammern, damit man [mm]1/n^2[/mm]
na da gehts wohl eher allgemein ums ausklammern der höchsten potenz, um die wegzukürzen (wohlgemerkt bei grenzwerten gen unendlich; bei x gegen 0 wärs ja nicht so prickeln, ne 0 in nem nenner zu haben)
> kriegt, aber sonst ist das bei mir immer eine Würgerei...
mh auf anhieb wüsst ich keine, aber wie man ne frage auf "teilweise beantwortet" stellt, weiss ich leider auch nicht, damit andere sich dazu noch äussern können
>
> Ich danke nochmal für die Lösung des Problems.
> Ciao
> davidone
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:43 Mi 27.01.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Das hab ich ja gemeint! Auf beiden Seiten (oben und unten) mit n multiplizieren, das nennt man doch erweitern, oder ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:47 Mi 27.01.2010 | | Autor: | fencheltee |
> Das hab ich ja gemeint! Auf beiden Seiten (oben und unten)
> mit n multiplizieren, das nennt man doch erweitern, oder ?
achso, das meintest du.. ja kann man erweitern mit n nennen, (oder wie ich dachte: ausklammern von 1/n)
hatte es so aufgefasst, als wäre ein fehler beim erweitern über die 3. binomische formel passiert 
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:58 Mi 27.01.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Ich war mir fast wirklich nicht mehr sicher was denn Erweitern ist...ist schon so lange her, wo ich noch wissen musste wie man das nennt...
...is ja egal, Hauptsache es stimmt.
Ich hab noch nie fencheltee getrunken!
Gruss Christian
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