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| Aufgabe | | [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{cos(x) + x}{sin(x) + x} [/mm] |
Hallo.
Hab eine Frage zu der obigen Aufgabe.
zuerst meine Überlegungen:
Der Grenzwert dieses Bruches ist meiner Meinung nach [mm] \bruch{\infty}{\infty}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Regel von de lHospital
also [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{-sin(x) + 1}{cos(x) + 1}
[/mm]
gut damit kann ich grad nix anfangen. Darf ich trotzdem einfach l'Hosputal anwenden?
also: [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{-cos(x)}{-sin(x) }
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] cot(x)
aber wirklich weiter bringt mich das doch jetzt auch nicht, da doch auch cot (da von cos und sin abhängig) periodisch ist, oder?
Wie würde denn diese Aufgabe zu lösen sein? oder gibt es einfach keinen Grenzwert?
Gruß Guido
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:27 Di 06.11.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich kann es nicht wirklich formelhaft beweisen, aber ich würde sagen, da sin(x) und cos(x) für alle x nur auf das kleine Intervall [-1;1] beschränkt sind, nehmen sie keinen großen Einfluss in der Unendlichkeit, weil die einzelnen xe ja auch gegen unendlich gehen.
Wichtig ist dann eigentlich nur noch [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{x}{x}=1.
[/mm]
Ist halt ca. wie [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{x}{x+1}, [/mm] wo die 1 auch an Bedeutung verliert und vernachlässigbar ist.
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hmmm...
Aber gerade da entsteht doch das problem. wenn mann x/x = 1 betrachtet fällt cos/sin doch wieder sehr stark ins gewicht...oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:35 Di 06.11.2007 | | Autor: | Teufel |
Hm ne, im Zähler hast du im Extremfall [mm] \infty\pm1 [/mm] und im Nenner auch.
Mal wird der Bruch größer als 1 und mal kleiner, aber er pendelt sich bei 1 ein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:39 Di 06.11.2007 | | Autor: | Master_G_A |
z.b. cos(0.01) / sin(0.01) = 99,9966....
daher wenn sin(x) gegen 0 geht wird der bruch extrem hoch...... -> cot-funktion
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:55 Di 06.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du darfst den L'Hopital nur auf 0/0 oder [mm] \infty/\infty [/mm] anwenden!
(Beispiel (x+1)/x L'hopital wär 2/1 GW ist 1)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:09 Mi 07.11.2007 | | Autor: | Master_G_A |
(Beispiel (x+1)/x L'hopital wär 2/1 GW ist 1)
nach l'hospital wäre auch hier der gw 1, da (x+1)' = 1 und x' = 1
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Hallo Guido,
du brauchst hier m.E de l'Hospital und seine Regel nicht zu bemühen.
Vielleicht wird es einsichtig, wenn du in Zähler und Nenner mal $x$ ausklammerst:
[mm] $\frac{\cos(x)+x}{\sin(x)+x}=\frac{x\cdot{}\left(\frac{\cos(x)}{x}+1\right)}{x\cdot{}\left(\frac{\sin(x)}{x}+1\right)}=\frac{\frac{\cos(x)}{x}+1}{\frac{\sin(x)}{x}+1}$
[/mm]
Nun weißt du ja, dass [mm] $\sin,\cos$ [/mm] beschränkt sind, was passiert also, wenn hier [mm] $x\to\infty$ [/mm] geht?
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Di 06.11.2007 | | Autor: | Master_G_A |
Hey 
Danke mit dieser Antwort geb ich mich zu frieden.
Gleichzeitig Teufels limes bestätigt.
Danke sehr
nebenfrage: kann man rot markierte fragen als beantwortet markieren wennman autor ist?
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Hi,
das können wohl nur die Mods.
Soll ich's auf beantwortet stellen?
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:51 Di 06.11.2007 | | Autor: | Master_G_A |
von mir aus. Dachte nur dass dann nicht alle wieder hier reingucken um helfen zu wollen 
ok danke
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