Grenzwert (taylor, l´hospital) < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Sa 05.01.2008 | | Autor: | SynTech |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Grenzwert !
Sorry (das soll lim x->1 heißen)
[mm] \limes_{x \to \1} ( \bruch{1}{1-x} - \bruch{3}{1-x^3} ) [/mm]
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Ich habe die Aufgabe so verstanden, dass ich den Beweis liefern. Der Grenzwert ist bei dieser Funktion 1, steht ja auch so dort.
Ich habe die Aufgabe nach l´hospital gelöst.
Nach zweimaliger Anwendung ist die Lösungen bei mir -1, dass kann aber nicht sein.
[mm] \limes_{x \to \1} ( \bruch{-2 - x^3 + 3x}{1 - x^3 - x + x^4}) [/mm]
Wäre jetzt der Fall l´hospital.
[mm] ( \bruch{-3x^2 - 3}{-3x^2 - 1 + 4x^3}) [/mm]
Noch einmal l´hospital
[mm] ( \bruch{-6x}{-6x + 12x^2}) [/mm]
Dabei komme ich auf -1. Stimmt das? Sollte das nicht 1 sein.
Wie kann ich das denn nach Taylor machen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Es ist
[mm] \limes_{x\rightarrow1} (\bruch{1}{1-x}-\bruch{3}{1-x^{3}}) [/mm] = -1.
Dein Ergebnis ist also richtig!
Nur nochmal zur Versicherung: Der Term im Limes lässt sich folgendermaßen umformen:
[mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] - [mm] \bruch{3}{1-x^{3}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] - [mm] \bruch{3}{(1-x)*(x^{2}+x+1)}
[/mm]
= [mm] \bruch{(x^{2}+x+1)}{(1-x)*x^{2}+x+1} [/mm] - [mm] \bruch{3}{(1-x)*(x^{2}+x+1)}
[/mm]
= [mm] \bruch{(x^{2}+x-2)}{(1-x)*(x^{2}+x+1)}
[/mm]
= [mm] \bruch{(x-1)*(x+2)}{(1-x)*(x^{2}+x+1)}
[/mm]
= [mm] \bruch{(-1)*(1-x)*(x+2)}{(1-x)*(x^{2}+x+1)}
[/mm]
= [mm] \bruch{(-1)*(x+2)}{x^{2}+x+1}
[/mm]
Nun kann man für x = 1 einfach einsetzen und erhält -1!
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