Grenzwert rekursiver Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 So 10.11.2013 | | Autor: | bla234 |
| Aufgabe | Überprüfung auf Konvergenz folgender Funktion:
[mm] c_{1}=2 [/mm]
[mm] c_{n+1}=\bruch{3}{4-c_{n}} [/mm] |
Ansatz: Überprüfung auf (1)Beschränktheit und (2)Monotonie:
Einige Ergebnisse: [mm] \bruch{3}{2} [/mm] , [mm] \bruch{6}{5} [/mm] , [mm] \bruch{15}{14} [/mm] , ...
(1) Annahme: Beschränkt mit Schranke=1
Mit Induktion:
[mm] c_{1}=2 \ge [/mm] 1
[mm] c_{n+1}=\bruch{3}{4-c_{n}} \ge [/mm] 1 [mm] \gdw [/mm] 3 [mm] \ge 4-c_{n} \gdw [/mm] 1 [mm] \le c_{n} [/mm]
Ok, offensichtlich wahr.
(2)
Wenn fallend muss gelten [mm] c_{2}< c_{1} \gdw \bruch{3}{2}<2
[/mm]
und
[mm] c_{n}>c_{n+1}
[/mm]
[mm] c_{n}>\bruch{3}{4-c_{n}} \gdw 4c_{n}-c_{n}^{2} [/mm] > 3
Ab hier weiß ich leider nicht weiter, bzw. wie ich diese Aussage interpretieren soll. Das gibt ja irgendwie keine eindeutige Lösung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:07 So 10.11.2013 | | Autor: | abakus |
> Überprüfung auf Konvergenz folgender Funktion:
> [mm]c_{1}=2[/mm]
> [mm]c_{n+1}=\bruch{3}{4-c_{n}}[/mm]
> Ansatz: Überprüfung auf (1)Beschränktheit und
> (2)Monotonie:
>
> Einige Ergebnisse: [mm]\bruch{3}{2}[/mm] , [mm]\bruch{6}{5}[/mm] ,
> [mm]\bruch{15}{14}[/mm] , ...
>
> (1) Annahme: Beschränkt mit Schranke=1
>
> Mit Induktion:
> [mm]c_{1}=2 \ge[/mm] 1
> [mm]c_{n+1}=\bruch{3}{4-c_{n}} \ge[/mm] 1 [mm]\gdw[/mm] 3 [mm]\ge 4-c_{n} \gdw[/mm] 1
> [mm]\le c_{n}[/mm]
>
> Ok, offensichtlich wahr.
>
> (2)
> Wenn fallend muss gelten [mm]c_{2}< c_{1} \gdw \bruch{3}{2}<2[/mm]
>
> und
> [mm]c_{n}>c_{n+1}[/mm]
>
> [mm]c_{n}>\bruch{3}{4-c_{n}} \gdw 4c_{n}-c_{n}^{2}[/mm] > 3
Diese Schlussfolgerung ist richtig, wenn man vorher [mm] $c_n<4$ [/mm] nachgewiesen hat (sonst dreht sich das Relationszeichen.
Das lässt sich dann weiter fortsetzen zu
[mm]...\gdw 0>c_n^2-4c_n+3[/mm]
Löse diese quadratische Ungleichung.
Gruß Abakus
>
> Ab hier weiß ich leider nicht weiter, bzw. wie ich diese
> Aussage interpretieren soll. Das gibt ja irgendwie keine
> eindeutige Lösung.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 So 10.11.2013 | | Autor: | bla234 |
ok, dann
$ [mm] \bruch{4\pm\wurzel{16-4\cdot{}3}}{2} \Rightarrow [/mm] $
$ [mm] x_{1}=1 [/mm] $
$ [mm] x_{2}=3 [/mm] $
Aber ich check trotzdem nicht was mir das sagt. ok die Parabel ist zwischen 1 und 3 größer 0. Aber stehe bzgl. der Monotonie auf dem Schlauch...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:49 So 10.11.2013 | | Autor: | abakus |
> ok, dann
>
> [mm]\bruch{4\pm\wurzel{16-4\cdot{}3}}{2} \Rightarrow[/mm]
>
> [mm]x_{1}=1[/mm]
> [mm]x_{2}=3[/mm]
>
> Aber ich check trotzdem nicht was mir das sagt. ok die
> Parabel ist zwischen 1 und 3 größer 0.
Falsch. Eine nach oben geöffnete Parabel ist zwischen den Nullstellen kleiner als Null.
> Aber stehe bzgl.
> der Monotonie auf dem Schlauch...
Deine genau-dann-wenn-Variante war vielleicht kein optimaler Ansatz.
Zunächst mal gilt [mm] $2\ge c_1>1$.
[/mm]
Daraus kann man beweisen, dass auch alle anderen Folgenglieder diese Ungleichung erfüllen, also dass auch [mm] $2\ge c_n>1$ [/mm] gilt.
Dann bildet man den Term [mm] $c_{n+1}-c_{n}=\frac{3}{4-c_n}-c_n$ [/mm] und weist nach, dass dieser (wegen [mm] $2\ge c_n>1$) [/mm] negativ ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:18 So 10.11.2013 | | Autor: | bla234 |
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