Grenzwert rekursive Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es seien [mm] x,y\in\mathbb{R}. [/mm] Die Folge [mm] (a_{n})_{n\in\mathbb{N}} [/mm] sei rekursiv definiert wie folgt: [mm] a_{1}=x,a_{2}=y,a_{n}=\frac{1}{2}(a_{n-1}+a_{n-2}) [/mm] für [mm] n\geq3.
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] (a_{n}) [/mm] konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.
Betrachten Sie dafür die Folge [mm] a_{n}-a_{n-1}. [/mm] |
Hallo,
also mit der Konvergenz da habe ich etwas rumprobiert und bin zu folgenden mich so aber überhaupt nicht zufriedenstellenden Ergebnissen gekommen: Wenn man die Rekursion in [mm] a_{n}-a_{n-1} [/mm] einsetzt und das durchiteriert kommt man irgendwann zu [mm] a_{n}-a_{n-1}=\frac{1}{(-2)^{k}}x+\frac{1}{(-2)^{m}}y [/mm] wobei m,k irgendwelche großen natürlichen Zahlen sind, die von n abhängen (ist das so richtig?).
Für n gegen unendlich geht dann [mm] a_{n}-a_{n-1} [/mm] gegen 0, was doch im Prinzip zeigt, dass [mm] a_{n} [/mm] eine Cauchy-Folge ist, demnach konvergent, weil [mm] \mathbb{R} [/mm] vollständig ist. Wie gesagt, ich bin damit sehr unzufrieden. Geht das irgendwie besser, einfacher?
Und irgendwie komme ich so auch nicht auf den Grenzwert von [mm] a_{n}. [/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:52 Mo 06.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
schau mal hier. Dort sind zwei Möglichkeiten skizziert die Dein Problem löst.
|
|
|
|
