Grenzwert nach l'Hospital... < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Di 17.08.2004 | | Autor: | Alice |
Hallo liebe Matheräumler!
Meine Frage bezieht sich auf folgende Aufgabe:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(1- \bruch{1}{2x})^{x}
[/mm]
Berechnen Sie den Grenzwert nach l'Hospital!
Und folgendermaßen sieht die Musterlösung aus, die ich leider nicht nachvollziehen kann:
[mm] (1-\bruch{1}{2x})^{x} [/mm] = [mm] (\bruch{2x-1}{2x})^{x} [/mm] = [mm] exp[x*ln\bruch{2x-1}{2x}] [/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}[x*ln\bruch{2x-1}{2x}] [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{ln(2x-1)- ln(2x)}{\bruch{1}{x}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{2}{2x-1}-\bruch{1}{x}}{\bruch{-1}{x^2}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}[x-\bruch{2x^2}{2x-1}] [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{-x}{2x-1} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{-1}{2-\bruch{1}{x}} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}
[/mm]
Ergebnis: [mm] \bruch{1}{ \wurzel{e}}
[/mm]
Prinzipiell verstehe ich, wie man den Grenzwert mit l'Hospital berechnet, allerdings muss ich bei dieser Aufgabe komplett passen, das einzige, was ich nachvollziehen kann, ist der allererste schritt...
Ich würde mich sehr sehr freuen, wenn mir hier jemand auf die Sprünge helfen könnte, ich bin für jeden Tipp dankbar!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:41 Di 17.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi.
Fragen wir mal so: was verstehst du denn an der Rechnung nicht?
Gruß,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Di 17.08.2004 | | Autor: | Alice |
Hallo!
Mein Problem bezieht sich auf alles, was nach dem "gleichnamig machen" der beiden Brüche passiert.
[mm] (\bruch{2x-1}{2x})^{x} [/mm] = [mm] exp[x*ln\bruch{2x-1}{2x}] [/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}[x*ln\bruch{2x-1}{2x}] [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{ln(2x-1)- ln(2x)}{\bruch{1}{x}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{2}{2x-1}-\bruch{1}{x}}{\bruch{-1}{x^2}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}[x-\bruch{2x^2}{2x-1}] [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{-x}{2x-1} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{-1}{2-\bruch{1}{x}} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}
[/mm]
Ergebnis: [mm] \bruch{1}{ \wurzel{e}}
[/mm]
es fängt damit an, dass ich nicht weiß, woher die e-funktion kommt, dann verstehe ich nicht, warum man das e offensichtlich vernachlässigen kann und nur den grenzwert des exponenten betrachtet, die folgenden schritte verstehe ich ebensowenig.
Wenn du mir dabei helfen kannst, ich würde mich sehr freuen :)
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 Di 17.08.2004 | | Autor: | andreas |
hi Alice
also mal etwas licht ins dunkel bringen:
es gilt ja nach der definition des logarithmus für [m] x \not= 0[/m] :
[m] |x| = e^{\ln|x|} [/m]
da [m] \ln [/m] ja genau die umkehrfunktion der exponentialfunktion ist.
also gilt für $ x > [mm] \frac{1}{2}$:
[/mm]
[m] \displaystyle{\bruch{2x-1}{2x} = e^{\ln \bruch{2x-1}{2x}}} [/m]
also auch:
[m] \displaystyle{ \left({\bruch{2x-1}{2x}}\right)^x = \left(e^{\ln \bruch{2x-1}{2x}}\right)^x} [/m]
mit der regel [m] \left( a^b \right) ^c = a^{bc} [/m] gilt dann
[m] \displaystyle{ \left( \bruch{2x-1}{2x} \right) ^x = \left(e^{\ln \bruch{2x-1}{2x}}\right)^x = e^{x \cdot \ln \bruch{2x-1}{2x}} } [/m]
nun kann man bei stetigen funktionen grenzwertbildung und funktionsauswertung vertauschen, d.h. also in diesem fall, da die e-funktion stetig ist:
[m] \displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \exp(f(x)) = \exp(\lim_{x \to \infty} f(x)) } [/m]
(darüber habe ich mich hier auch schon mal ausgelassen - vielleicht hilft dir die frage dort auch etwas).
probiere mal, ob du damit schon etwas weiter kommst, sonst frage bitte einfach nach!
ach ja: diesen trick, das man aus einer basis eine e und ln funktion mach braucht man bei solchen grenzwertberechnungen sehr oft, wenn ein x im exponenten und der basis vorkommt, also bei ausdrücken der form [m] f(x) ^{g(x)} [/m].
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:42 Di 17.08.2004 | | Autor: | Alice |
Lieber Andreas,
vielen dank für deine Antwort, das hat mir sehr weitergeholfen, jetzt muss ich mir das nochmal genau durch den Kopf gehen lassen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Di 17.08.2004 | | Autor: | Alice |
Hallo Andreas,
ich habe alle Deine Ausführungen begriffen! Nochmals danke!
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}[x*ln\bruch{2x-1}{2x}]
[/mm]
ist also klar, allerdings der nächste schritt:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{ln(2x-1)- ln(2x)}{\bruch{1}{x}}
[/mm]
ist mir wieder ein Rätsel... woher kommen die ganzen ln's denn auf einmal???
Würde mich über Deine Hilfe sehr freuen :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 Di 17.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Alice.
Da wurden die logarithmengesetze angewandt:
[mm]ln(\frac{a}{b})=ln(a)-ln(b)[/mm]
Gruß,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Mi 18.08.2004 | | Autor: | Alice |
Hallo Ihr, hallo Hanno,
danke für deine Antwort!
Ich komme jetzt bis zu folgendem Punkt:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{-1}{2-\bruch{1}{x}} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}
[/mm]
der Schritt vor dem Gleichheitszeichen ist mir noch klar, aber wieso das dann = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] ist, verstehe ich nicht.
Ach quatsch, ist natürlich klar, [mm] \bruch{1}{x} [/mm] strebt gegen null, der Rest bleibt übrig.... super, dann bezieht sich meine Frage nur noch auf das Ergebnis
Warum dann das Endergebnis = [mm] \bruch{1}{ \wurzel{e}} [/mm] ebensowenig, es wäre klasse, wenn mir das jemand von euch erklären könnte!
Danke schonmal für Eure Mühe...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 Mi 18.08.2004 | | Autor: | andreas |
hi Alice
wo kommt den der betreff her? scheint wohl was schief gegengen zu sein?
also:
> Ich komme jetzt bis zu folgendem Punkt:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{-1}{2-\bruch{1}{x}}[/mm] =
> [mm]-\bruch{1}{2}
[/mm]
>
> der Schritt vor dem Gleichheitszeichen ist mir noch klar,
> aber wieso das dann = [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] ist, verstehe ich
> nicht.
>
> Ach quatsch, ist natürlich klar, [mm]\bruch{1}{x}[/mm] strebt gegen
> null, der Rest bleibt übrig.... super, dann bezieht sich
> meine Frage nur noch auf das Ergebnis
sehr gut.
> Warum dann das Endergebnis = [mm]\bruch{1}{ \wurzel{e}}[/mm]
> ebensowenig, es wäre klasse, wenn mir das jemand von euch
> erklären könnte!
also du wolltest doch [m] \displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \left(1- \bruch{1}{2x}\right)^{x} = \lim_{x \to \infty} \exp\left[x\cdot \ln\bruch{2x-1}{2x}\right] = \exp \left( \lim_{x \to \infty}x\cdot \ln\bruch{2x-1}{2x} \right) } [/m] berechnen. nun hast du für den ausdruck im exponenten [m] \displaystyle{ \lim_{x \to \infty}x\cdot \ln\bruch{2x-1}{2x} = -\dfrac{1}{2} } [/m] erhalten. setzt du dies nun in die obige gleichung ein ergibt sich: [m] \displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \left(1- \bruch{1}{2x}\right)^{x} = \exp \left( \lim_{x \to \infty}x\cdot \ln\bruch{2x-1}{2x} \right) = \exp \left(-\dfrac{1}{2} \right) = e^{-\frac{1}{2}} } [/m]
und wegen [m] e^{-\frac{1}{2}} = \left( e^\frac{1}{2} \right)^{-1} = \left( \sqrt{e} \right)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{e}} [/m] das gewünschte resultat.
klar? wenn nicht frage nach.
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:11 Mi 18.08.2004 | | Autor: | Alice |
Hallo Andreas!
Danke für deine schnelle Antwort!
Ja, der Betreff war wohl irgendwie da hin gerutscht... ka :)
Ich habs verstanden, vielen Dank für Deine Mühe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Di 17.08.2004 | | Autor: | Matti66 |
Hallo!
>
> [mm](1-\bruch{1}{2x})^{x}[/mm] = [mm](\bruch{2x-1}{2x})^{x}[/mm]
Im Prinzip wurde nichts anderes gemacht, als 2 Brücke gleichnamig.
Der gemeinsame Nenner von 1 und $ [mm] \bruch{1}{2x} [/mm] $ ist 2x.
Multipliziere 1 mit 2x und bilde dann die Differenz der beiden Brüche und das ergibt
$ [mm] \bruch{2x}{2x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2x} [/mm] = [mm] \bruch{2x-1}{2x} [/mm] $
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Di 17.08.2004 | | Autor: | Alice |
Hallo Matti!
Danke für deine Antwort, aber das war das einzige, was ich an der Aufgabe verstanden hatte, also falls du zum Rest noch einen Tipp abzugeben hast, darüber würde ich mich sehr freuen :))
Danke trotzdem
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2. Gleichheitszeichen: ln und exp sind Umkehrfunktionen voneinander; 3. Logarithmus-Gesetz (Exponenten als Faktor vorziehen)
3. Gleichheitszeichen: Logarithmusgesetz für Quotienten; x = 1 / (1/x)
4. Gleichheitszeichen: L'Hospital
5. Gleichheitszeichen: Bruch mit -x² erweitern
6. Gleichheitszeichen: Hauptnenner
7. Gleichheitszeichen: Bruch mit 1/x erweitern
Für das Endergebnis wird ferner die Stetigkeit der Exponentialfunktion verwendet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:08 Do 19.08.2004 | | Autor: | jerto |
Hallo,
eigentlich sind diese Umformungen ganz leicht zu verstehen,
da man bei l'Hospital darauf achten muss, dass es sich bei den Termen
um Ausdrücke der Form "[mm]\frac{0}{0}[/mm]" oder "[mm]\frac{\infty}{\infty}[/mm]" handelt
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