Grenzwert mit l'Hospital < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man berechne die Grenzwerte:
1a) [mm] \lim_{x \to 0}\bruch{sin^{2}x}{x(1-cosh2x)} [/mm]
1b) [mm] \lim_{x \to \infty}\bruch{sin^{2}x}{1-cosh2x} [/mm] |
Hallo, ich bräuchte etwas Hilfe... liege zurzeit mit Fieber flach und habe die letzte Mathevorlesung verpasst... zur Übung haben wir auf jeden Fall sehr sehr viele Aufgaben bekommen, in denen es vor allem darum geht, Grenzwerte mit l'Hospital zu berechnen, sofern die Anwendung sinnvoll und notwendig ist.
Bei der 1a) bin ich wie folgt vorgegangen:
Ich habe mir die Ausgangsfunktion angeguckt und für x = 0 eingesetzt, sowohl der Nenner, als auch der Zähler würden gegen 0 laufen: Da [mm] (\bruch{0}{0}) [/mm] darf ich nun die Regel von l'Hospital anwenden: Ich bilde also die erste Ableitung:
[mm] \lim_{x \to 0}\bruch{2cosxsinx}{1-cosh2x+2xsinh2x}
[/mm]
Auch hier laufen sowohl der Nenner, als auch der Zähler gegen [mm] Null:(\bruch{0}{0}). [/mm] Ich leite also erneut ab:
= [mm] \lim_{x \to 0}\bruch{-2sinxsinx + 2cosxcosx}{-2sinh2x+2sinh2x+4xcosh2x}
[/mm]
Dies kann ich kürzen und etwas umformen:
= [mm] \lim_{x \to 0}\bruch{-2sinxsinx + 2cosxcosx}{4xcosh2x}
[/mm]
= [mm] \lim_{x \to 0}\bruch{-2sin^{2}x + 2cos^{2}x}{4xcosh2x}
[/mm]
= [mm] \lim_{x \to 0}\bruch{2(cos^{2}x - sin^{2}x)}{4xcosh2x}
[/mm]
= [mm] \lim_{x \to 0}\bruch{2(cos2x)}{4xcosh2x}
[/mm]
= [mm] \lim_{x \to 0}\bruch{cos2x}{2xcosh2x}
[/mm]
Egal was ich nun mache, ich bekomme es nicht hin, dass ich die Regel erneut anwenden kann, da nur im Nenner "0" herauskommt... kann ich nun sagen, dass 0 das Ergebnis ist?
zur b) da bin ich von vorne rein schon überfragt.. die sinusfunktion ist doch [mm] 2\pi-periodisch, [/mm] wie gehe ich da denn nun vor? Ich kann ja nun nicht sagen, dass sowohl Zähler und Nenner zum Beispiel gegen Unendlich gehen würden, wenn x gegen Unendlich geht. Gibt es da eine bestimmte Methode, um solche Grenzwerte zu berechnen?, oder gibt es eine Art Tabellarische Übersicht aus der zu erkennen ist, wie man vorzugehen hat, wenn man z.b. sin, arcsin, sinh, cosh, ... etc gegen Unendlich laufen lässt?!?
Vielen Dank im voraus. Matthias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 So 07.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei a) hast du richtig l'Hopital angewendet, aber den Nenner falsch abgeleitet!
(cosh(2x))'=2*sinh(2x) sonst nichts!
bei b) betrachte erstmal den Zähler: [mm] 0\le sin^2(x)\le [/mm] 1
was tut der Nenner für n gegen [mm] \infty? [/mm] dann solltest du den GW sehen.
Gruss leduart
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oke zu a) bitte ich dich meine Ableitung nochmal zu überprüfen, ich habe da lediglich einen vorzeichenfehler gefunden:
ich betrachte jetzt nur den Nenner:
f(x) = x(1-cosh2x)
f'(x) = 1 (1 - cosh2x) + x (-2sinh2x) = 1 - cosh2x + x(-2sinh2x) / x(-2sinh2x)=-2xsinh2x
Erläuerung: 1 [u'] (1-cosh2x) [v] + x [u] (-2sinh2x) [v'] [Produktregel] [um [v'] herauszubekommen, die Kettenregel anwenden: Innere wäre "2", äußere wäre "-sinh2x"]
f''(x) = - 2sinh2x + 1 (-2sinh2x) + x (-4cosh2x) = -2sinh2x - 2sinh2x - 4xcosh2x = -4sinh2x -4xcosh2x [selbe Prinzip wie bei der ersten Ableitung]
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Hallo matzew611,
> oke zu a) bitte ich dich meine Ableitung nochmal zu
> überprüfen, ich habe da lediglich einen vorzeichenfehler
> gefunden:
>
> ich betrachte jetzt nur den Nenner:
>
> f(x) = x(1-cosh2x)
>
> f'(x) = 1 (1 - cosh2x) + x (-2sinh2x) = 1 - cosh2x +
> x(-2sinh2x) / x(-2sinh2x)=-2xsinh2x
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Erläuerung: 1 [u'] (1-cosh2x) [v] + x (-2sinh2x) [v']
> [Produktregel] [um [v'] herauszubekommen, die
> Kettenregel anwenden: Innere wäre "2", äußere wäre
> "-sinh2x"]
>
> f''(x) = - 2sinh2x + 1 (-2sinh2x) + x (-4cosh2x) = -2sinh2x
> - 2sinh2x - 4xcosh2x = -4sinh2x -4xcosh2x [selbe Prinzip
Stimmt auch.
> wie bei der ersten Ableitung]
>
>
Gruß
MathePower
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zu b) Im Zähler würde ich einen recht kleinen Wert bekommen. cosh2x läuft laut Taschenrechner gegen +Unendlich. Aufgrund des "1-cosh2x" läuft der Nenner gegen -Unendlich. Demnach bekomme ich einen immer kleineren Bruch und das bedeutet der Grenzwert nähert sich gegen Null an?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:22 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo matzew!
So ist es richtig.
Gruß
Loddar
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