Grenzwert geo Reihe 2 < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:50 Mi 30.11.2011 | | Autor: | Nicky-01 |
| Aufgabe | $ [mm] (z^3-1) (1+z^3+z^6+z^9+\dots) [/mm] $
$ [mm] 1+z^3+z^6+z^9+\dots [/mm] = [mm] (z^3)^0 [/mm] + [mm] (z^3)^1 [/mm] + [mm] \dots [/mm] $ . |
da habe ich dann also
[mm] (z^3-1)\summe_{i=0}^{\infty}(a^3)î [/mm] ...
aber dann komme ich leider nicht mehr weiter ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 Mi 30.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Es gilt:
[mm] \sum_{k=0}^{\infty}a_0 q^k [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} a_0 q^k [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty}a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm] = [mm] \frac{a_0}{1-q}, [/mm]
Hier also:
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}(z^3)^i [/mm]
[mm] a_{0}=(z^{3})^{0}=1, q=a^{3}
[/mm]
Also
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}(z^3)i=\frac{1}{1-z^{3}} [/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Mi 30.11.2011 | | Autor: | Nicky-01 |
aso ok, dann hatte ich es doch richtig ...
also ist [mm] |z^3|<1 [/mm] konvergiert mit [mm] \bruch {1}{1-z^3}
[/mm]
und [mm] |z^3|\ge [/mm] 1 divergiert ...
stimmt das dann so?
oder habe ich wieder etwas übersehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 Mi 30.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> aso ok, dann hatte ich es doch richtig ...
> also ist [mm]|z^3|<1[/mm] konvergiert mit [mm]\bruch {1}{1-z^3}[/mm]
Merkwürdiger Satz ....
Die Reihe
$ [mm] \summe_{i=0}^{\infty}(z^3)^i [/mm] $ konvergiert für [mm] |z^3|<1 [/mm] und hat den Wert [mm] \bruch {1}{1-z^3}
[/mm]
mach Dir noch klar:
[mm] |z^3|<1 \gdw [/mm] |z|<1
> und
> [mm]|z^3|\ge[/mm] 1 divergiert ...
Für |z| [mm] \ge [/mm] 1 ist die Reihe divergent
FRED
> stimmt das dann so?
> oder habe ich wieder etwas übersehen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:17 Mi 30.11.2011 | | Autor: | Nicky-01 |
ok, dake schön für die schnelle hilfe
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