Grenzwert einer Zahlenfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 Sa 09.12.2006 | | Autor: | belimo |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Grenzwert der Zahlenfolgen für [mm] {n\rightarrow\infty}:
[/mm]
[mm] (a_{n}) [/mm] = [mm] (\bruch{2n^{2}-n}{n^{2}+n-1}). [/mm] |
Hallo Leute
Also ich weiss schon ein bischen was:
[mm] \bruch{1}{n} [/mm] konvergiert ja gegen 0 und wenn ich nun also diesen Bruch so umformen, dass nur noch Brüche wie [mm] \bruch{1}{n} [/mm] zu sehen sind, kann ich alles Streichen, und habe am Schluss mein Resultat. Nur wie kann ich das ganze umformen? Mir fehlt momentan grad der rote Faden 
Danke im Voraus für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Stefan!
> Berechnen Sie den Grenzwert der Zahlenfolgen für
> [mm]{n\rightarrow\infty}:[/mm]
>
> [mm](a_{n})[/mm] = [mm](\bruch{2n^{2}-n}{n^{2}+n-1}).[/mm]
Bei folgen, welche als Quotient daher kommen ist die Betimmung des Grenzwertes recht einfach. Wenn du im zähler und Nenner jeweils die Potenz mit dem höchsten Exponenten ausklammerst, solltest du auf die von dir gewünschte Form kommen:
[mm]a_{n}= \bruch{2n^{2}-n}{n^{2}+n-1}=\bruch{n^{2}(2-\bruch{1}{n})}{n^{2}(1+\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n^{2}})[/mm]
Das [mm] n^{2} [/mm] im Zähler und Nenner kannst du nun miteinander kürzen. Der restliche Weg der Lösung sollte nun klar sein.
Gruß,
Tommy
PS:
Zum Vergleich: Wenn ich mich nicht vertan haben sollte, so hat diese Folge den Grenzwert 2.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:30 Sa 09.12.2006 | | Autor: | belimo |
Sensationell. Der Tipp "die Potenz mit dem höchsten Exponenten" werde ich mir merken!
Die Lösung "2" stimmt mit meinem Lösungsblatt überein, vielen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Sa 09.12.2006 | | Autor: | belimo |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Grenzwert der Zahlenfolgen für [mm] {n\rightarrow\infty}:
[/mm]
[mm] (a_{n}=(\bruch{3^{n}-3^{n-1}}{2+3^{n}})) [/mm] |
Und kaum bin ich bei der nächsten Aufgabe, da ist alles wieder anders.
Also nicht komplett anders, aber nach dem Grundsatz von vorhin, müsste ich ja jetzt [mm] 3^{n} [/mm] ausklammern. Aber da stehe ich vor einem arithmetischen Problem: Wie funktioniert das Ausklammern mit [mm] 3^{n-1}? [/mm] Und noch schlimmer: Was klammere ich im Nenner aus?
Wäre super, wenn du mir nochmals helfen könntest, danke.
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Hallo nochmals!
> Berechnen Sie den Grenzwert der Zahlenfolgen für
> [mm]{n\rightarrow\infty}:[/mm]
> [mm](a_{n}=(\bruch{3^{n}-3^{n-1}}{2+3^{n}}))[/mm]
> Und kaum bin ich bei der nächsten Aufgabe, da ist alles
> wieder anders.
> Also nicht komplett anders, aber nach dem Grundsatz von
> vorhin, müsste ich ja jetzt [mm]3^{n}[/mm] ausklammern. Aber da
> stehe ich vor einem arithmetischen Problem: Wie
> funktioniert das Ausklammern mit [mm]3^{n-1}?[/mm] Und noch
> schlimmer: Was klammere ich im Nenner aus?
>
> Wäre super, wenn du mir nochmals helfen könntest, danke.
Den Term [mm] 3^{n-1} [/mm] kannst du dir nach dem Potenzgesetz [mm] a^{m+n}=a^{m}*a^{n} [/mm] zu [mm] 3^{n}*3^{-1} [/mm] umformen. Dann kannst du wie schon vorher [mm] 3^{n} [/mm] im Zähler und Nenner ausklammern. Es sollte entstehen:
[mm] \bruch{3^{n}(1-3^{-1})}{3^{n}(\bruch{2}{3^{n}}+1)}
[/mm]
Dann wieder [mm] 3^{n} [/mm] gekürzt und die Grenzwertbetrachtung durchgeführt und du solltest als Grenzwert [mm] \bruch{2}{3} [/mm] erhalten.
Gruß,
Tommy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Sa 09.12.2006 | | Autor: | belimo |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Grenzwert der Zahlenfolgen für [mm] {n\rightarrow\infty}:
[/mm]
[mm] (a_{n}=(\bruch{3n+2(-1)^{n}}{n}) [/mm] |
Auch das stimmt wieder! Sensationell... Warum ich dadrauf nicht selber komme!!! ;-( Die letzte Aufgabe von diesem Typ lautet wieder anders. Diesmal habe ich gar keine Potenz mehr, die ich ausklammern könnte. Hast du mir noch einen letzten Tip? Danke im Voraus. Grüsse belimo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:27 Sa 09.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo belimo!
"Zerpflücke" diesen Bruch doch mal ... dann solltest Du den Grenzwert schnell erkennen:
[mm]a_{n}=\bruch{3n+2*(-1)^{n}}{n} \ = \ \bruch{3n}{n}+\bruch{2*(-1)^n}{n} \ = \ 3+2*\bruch{(-1)^n}{n}[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:05 Sa 09.12.2006 | | Autor: | belimo |
Mathe wäre sooo einfach Hoffentlich denkt ihr nicht von mir, ich wäre einfach zu faul... Aber ich komme einfach nicht drauf.
Mir fehlt einfach noch die Übung... ;-(
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