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Grenzwert einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:33 Di 08.01.2013
Autor: piriyaie

Aufgabe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{n}{n+1})^{n} [/mm]

Hallo,

ich soll den Grenzwert obiger Reihe zeigen bzw. zeigen ob die Reihe konvergent oder divergent ist.

Hier mein Lösungsvorschlag:

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{n}{n+1})^{n} [/mm]

Nebenrechnung:

[mm] (\bruch{n}{n+1})^{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})^{n}} [/mm]

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})^{n}} [/mm] = 1

Aber ich denke das dies falsch ist. oder?

Was mach ich falsch?

Danke schonmal.

Grüße
Ali

        
Bezug
Grenzwert einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:38 Di 08.01.2013
Autor: pi-roland

Guten Abend Ali,

beachte: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e [/mm]
Es handelt sich um diesen speziellen Grenzwert, bei dem die Eulersche Zahl heraus kommt.
Der Rest schaut sehr richtig aus.

Viel Erfolg,


[mm] \pi-\mathrm{rol} [/mm]

Bezug
                
Bezug
Grenzwert einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:46 Di 08.01.2013
Autor: piriyaie

ok.

hab vergessen, dass das so definiert ist.

also hier nochmal meine lösung:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})^{n}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{e} [/mm] < 1

[mm] \Rightarrow [/mm] Die Reihe ist konvergent.

richtig?

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:51 Di 08.01.2013
Autor: Richie1401

Hallo,

> ok.
>  
> hab vergessen, dass das so definiert ist.
>  
> also hier nochmal meine lösung:
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})^{n}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{e}[/mm] < 1
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] Die Reihe ist konvergent.
>  
> richtig?

Nein.

Sei [mm] \sum_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] eine Reihe. Ist die Reihe konvergent so ist [mm] \lim\limits_{n\to\infty}a_n=0, [/mm] also [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge. (notwendige Bedingung).

Bei dir ist jedoch [mm] a_n [/mm] keine Nullfolge. Daher divergiert die Reihe.

Bezug
                                
Bezug
Grenzwert einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:02 Di 08.01.2013
Autor: piriyaie

AAAAAAAA verstehe! :-D

Habs kapiert.

Nächste Frage:

offensichtlich ist ja nicht nur [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n} [/mm] = e

sondern z. B. auch [mm] k^{\bruch{1}{k}} [/mm] = [mm] e^{ln(k) * \bruch{1}{k}} [/mm]

Gibt es da irgendwo im inernet eine liste oder so wo alle solchen definitionen gelistet sind???

oder sind es nur die genannten zwei?

danke.

gibt es noch

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:10 Di 08.01.2013
Autor: Richie1401

Hallo,

> AAAAAAAA verstehe! :-D
>  
> Habs kapiert.
>  
> Nächste Frage:
>  
> offensichtlich ist ja nicht nur [mm](1+\bruch{1}{n})^{n}[/mm] = e

Das stimmt nicht. Es ist
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^{n}=e [/mm]

>  
> sondern z. B. auch [mm]k^{\bruch{1}{k}}[/mm] = [mm]e^{ln(k) * \bruch{1}{k}}[/mm]

Was willst du denn mit dieser Umformung? Das ist ja auch keine Definition.

Es ist [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}k^{\bruch{1}{k}}=1 [/mm]

>  
> Gibt es da irgendwo im inernet eine liste oder so wo alle
> solchen definitionen gelistet sind???

Du meinst ganz spezielle Grenzwerte? Ich denke, der Grenzwert mit e ist mit einer der wichtigsten. Außerdem sind Reihen auch recht wichtig. Besondere Entwicklungen sind z.B. die Reihen für SInus und Kosinus.

>  
> oder sind es nur die genannten zwei?
>  
> danke.
>  
> gibt es noch  


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