Grenzwert einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:14 So 23.10.2011 | | Autor: | Reducer |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{n=1}^{\infty}sin(n\pi+\bruch{\pi}{3n}) [/mm] |
Hallo
Ich muss aufzeigen ob die Reihe konvergent oder divergent ist.
Könnte mir mal jemand einen Tipp geben, mit welchem Kriterium ich hier am besten vorwärts komme?
Besten Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Reducer,
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}sin(n\pi+\bruch{\pi}{3n})[/mm]
> Hallo
>
> Ich muss aufzeigen ob die Reihe konvergent oder divergent
> ist.
>
> Könnte mir mal jemand einen Tipp geben, mit welchem
> Kriterium ich hier am besten vorwärts komme?
Klar. Hier ist es das Leibniz-Kriterium.
Dazu musst Du Dir die Reihe mal genau veranschaulichen und sie entsprechend umschreiben.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:57 Mo 24.10.2011 | | Autor: | Reducer |
OK danke reverend das hilft mir schon mal weiter
ich erhalte dann
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}sin((3n^{2}+1)\bruch{1}{3n})
[/mm]
und für die Nullfolge entsprechend
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{3n}=0
[/mm]
dann für
n=1 [mm] \bruch{1}{3} [/mm] >0
n=2 [mm] \bruch{1}{6} [/mm] >0
n=3 [mm] \bruch{1}{9} [/mm] >0
monoton fallende Beträge mit Werten jeweils grösser 0
also konvergiert
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}sin(n\pi+\bruch{\pi}{3n})
[/mm]
Ist das so korrekt?
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Hallo nochmal,
die Grundidee ist richtig, aber wo sind denn die [mm] \pi's [/mm] geblieben?
Übrigens stimmt auch das Ergebnis. Die Reihe ist konvergent.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:12 Mo 24.10.2011 | | Autor: | Reducer |
[mm] \pi [/mm] ging in der Hitze des Gefechtes verloren 
es müsste [mm] \summe_{n=1}^{\infty}sin(\pi(3n^{2}+1)\bruch{1}{3n}) [/mm] heissen..
Vielen Dank für die schnelle Rückmeldung
Gruss
Reducer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:09 Mo 24.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wieso konvergiert [mm] (3n^2+1)*\pi/3n [/mm] gegen 0?
verwende das Additionstheorem!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:30 Mo 24.10.2011 | | Autor: | Reducer |
Hallo Leduart
Danke für den Hinweis
Dann ergibt sich
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}sin(n\pi)*cos(\bruch{\pi}{3n})+cos(n\pi)*sin(\bruch{\pi}{3n})
[/mm]
wobei der Sinus jeweils Null wird am Grenzwert
Gruss
Reducer
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Hallo nochmal,
> Dann ergibt sich
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}sin(n\pi)*cos(\bruch{\pi}{3n})+cos(n\pi)*sin(\bruch{\pi}{3n})[/mm]
>
> wobei der Sinus jeweils Null wird am Grenzwert
Das ist nur ein Teil der Wahrheit. Die zu summierende Folge ist tatsächlich darum eine Nullfolge.
Den Rest der Argumentation gewinnst Du aus
[mm] \sin{(n\pi)}*\cos{\left(\bruch{\pi}{3n}\right)}+\cos{(n\pi)}*\sin{\left(\bruch{\pi}{3n}\right)}=0+(-1)^n*\sin{\left(\bruch{\pi}{3n}\right)}
[/mm]
Grüße
reverend
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