Grenzwert einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:12 So 14.12.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grenzwert der folgenden Reihe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n*(n+2)}
[/mm]
Bestimmen Sie dafür zunächst mit Hilfe der Partialbruchzerlegung die explizite Form der Partialsummenfolge und berechnen Sie damit den Grenzwert. |
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n*(n+2)}
[/mm]
PBZ:
$ [mm] \bruch{1}{n*(n+2)}=\bruch{A}{n}+{B}{n+2} [/mm] $
$ [mm] \gdw [/mm] 1=A*(n+2)+B*n $
$ n=0 : 1=2*A $
$ [mm] \gdw A=\bruch{1}{2} [/mm] $
$ n=1 : [mm] 1=\bruch{3}{2}+B [/mm] $
$ [mm] \gdw B=-\bruch{1}{2} [/mm] $
[mm] \bruch{1}{n*(n+2)}=\bruch{\bruch{1}{2}}{n}-\bruch{\bruch{1}{2}}{n+2}
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n*(n+2)}=\bruch{1}{2}*\left(\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+2}\right)=\bruch{1}{2}*\left((1-\bruch{1}{3})+(\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4})+(\bruch{1}{3}-\bruch{1}{5})+(\bruch{1}{4}-\bruch{1}{6})+...+(\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+2})\right)
[/mm]
Jetzt sehe ich ja, dass in der Reihe alle Summanden ausser 1 & [mm] \bruch{1}{2} [/mm] zweimal, jeweils mit unterschiedlichem Vorzeichen, vorkommen.
Kann ich jetzt ohne weiteres sagen, dass die Reihe gegen
[mm] \bruch{1}{2}*\left(1+\bruch{1}{2}\right)=\bruch{3}{4} [/mm] konvergiert?
Ich bin mir da nicht so sicher, würde eher nein sagen, dennoch wüsste ich nicht wie ich es sonst machen soll.
Danke und Gruß,
tedd 
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Hallo tedd,
> Bestimmen Sie den Grenzwert der folgenden Reihe:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n*(n+2)}[/mm]
>
> Bestimmen Sie dafür zunächst mit Hilfe der
> Partialbruchzerlegung die explizite Form der
> Partialsummenfolge und berechnen Sie damit den Grenzwert.
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n*(n+2)}[/mm]
>
>
> PBZ:
>
> [mm]\bruch{1}{n*(n+2)}=\bruch{A}{n}+{B}{n+2}[/mm]
> [mm]\gdw 1=A*(n+2)+B*n[/mm]
>
> [mm]n=0 : 1=2*A[/mm]
> [mm]\gdw A=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]n=1 : 1=\bruch{3}{2}+B[/mm]
> [mm]\gdw B=-\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{n*(n+2)}=\bruch{\bruch{1}{2}}{n}-\bruch{\bruch{1}{2}}{n+2}[/mm]
>
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n*(n+2)}=\bruch{1}{2}*\left(\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+2}\right)=\bruch{1}{2}*\left((1-\bruch{1}{3})+(\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4})+(\bruch{1}{3}-\bruch{1}{5})+(\bruch{1}{4}-\bruch{1}{6})+...+(\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+2})\right)[/mm]
>
> Jetzt sehe ich ja, dass in der Reihe alle Summanden ausser
> 1 & [mm]\bruch{1}{2}[/mm] zweimal, jeweils mit unterschiedlichem
> Vorzeichen, vorkommen.
M.E bleibt auch der allerletzte Summand [mm] $-\frac{1}{n+2}$
[/mm]
> Kann ich jetzt ohne weiteres sagen, dass die Reihe gegen
> [mm]\bruch{1}{2}*\left(1+\bruch{1}{2}\right)=\bruch{3}{4}[/mm]
> konvergiert? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Ich bin mir da nicht so sicher, würde eher nein sagen,
> dennoch wüsste ich nicht wie ich es sonst machen soll.
Doch, das ist ja genau der Punkt, der Reihenwert [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k$ [/mm] ist ja genau der Grenzwert der Partialsummenfolge, also [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=0}^{n}a_k=\lim\limits_{n\to\infty}S_n$
[/mm]
Eine n-te Partialsumme hast du oben aufgestellt und festgestellt, dass es eine nette Telekopsumme ist:
[mm] $S_n=\frac{1}{2}\cdot{}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}\right)$
[/mm]
Damit also [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}S_n=\frac{1}{2}\cdot{}\left(1+\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+2)}$
[/mm]
>
> Danke und Gruß,
> tedd
LG
schachuzipus
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
